[论文解读] Equidistribution of Fekete points on complex manifolds

Robert J. Berman, Sébastien Boucksom|ArXiv.org|Jun 30, 2008

Geometry and complex manifolds参考文献 5被引用 9

一句话总结

本文在配备大线丛的紧致复流形上建立了Fekete点的等分布性，证明了加权子集的Fekete构型弱收敛于全纯势能平衡测度。该结果将一复变量中的经典等分布定理推广至高维，并通过全纯势能理论与线丛上的能量泛函，提供了一个统一的框架。

ABSTRACT

We prove the several variable version of the classical equidistribution theorem for Fekete points of a compact subset of the complex plane, which settles a well-known conjecture in pluri-potential theory. The result is obtained as a special case of a general equidistribution theorem for Fekete points in the setting of a given holomorphic line bundle over a compact complex manifold. The proof builds on our recent work "Capacities and weighted volumes for line bundles".

研究动机与目标

• 解决全纯势能理论中关于高维复空间中Fekete点等分布的长期悬而未决的猜想。
• 将复平面上Fekete点的经典等分布结果推广至配备大线丛的紧致复流形。
• 在紧致复流形上的全纯线丛设定下，建立Fekete构型的一般等分布定理。
• 通过能量泛函与曲率理论，统一并推广先前关于Bergman测度与算术等分布的结果。

提出的方法

• 利用奇异Hermitian度量与正曲率电流的理论，定义大线丛上的平衡权与测度。
• 将Fekete构型定义为与线丛全纯截面相关的Vandermonde行列式点态范数的最大化配置。
• 应用Aubin-Yau能量泛函，将Fekete上确界的渐近增长与平衡测度联系起来。
• 采用基于凹泛函与能量泛函Fréchet可微性的变分原理，推导测度的弱收敛性。
• 利用Vandermonde行列式对数在权函数下为仿射的性质，从而应用凸分析技术。
• 借助先前关于容量与加权体积的研究成果，建立Fekete上确界渐近行为的性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 在紧致复流形上，加权子集的Fekete构型在高维中是否弱收敛于全纯势能平衡测度？
• RQ2 复平面上Fekete点的经典等分布定理能否推广至高维复流形？
• RQ3 Fekete上确界的渐近行为与平衡权的Monge-Ampère测度之间有何关系？
• RQ4 与平衡测度相关的能量泛函是否为Fréchet可微？这对其测度收敛性有何含义？
• RQ5 能否从能量泛函的可微性与相关泛函的凹性推导出Fekete点的等分布性？

主要发现

• 在紧致复流形上配备大线丛的加权子集 (E, kϕ) 的Fekete构型，当 k→∞ 时，弱收敛于平衡测度 μ(E,ϕ)。
• Vandermonde行列式范数的归一化对数的极限等于Aubin-Yau能量泛函，该泛函在平衡权处为Fréchet可微。
• 能量泛函在权ϕ处的导数为 (n+1) 倍的任意连续检验函数关于平衡测度 μ(E,ϕ) 的积分。
• Fekete构型向平衡测度的收敛性，可通过应用于凹泛函的变分引理推导，其关键在于能量泛函的可微性与上确界渐近相等性。
• 该结果推广了Yuan的算术等分布定理以及先前关于Bergman测度的研究成果，将它们统一于能量泛函与曲率理论的共同框架之下。
• 该证明建立了平衡测度 μ(E,ϕ) 是Fekete构型归一化计数测度的唯一弱极限。