[论文解读] Equidistribution of minimal hypersurfaces for generic metrics

Fernando C. Marques, André Neves+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 18, 2017

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 16被引用 12

一句话总结

该论文证明了在闭合 $(n+1)$-流形上，对于任意 $C^{\infty}$ 黎曼度量（其中 $3 \leq n+1 \leq 7$），存在一列闭合、光滑、嵌入、连通的极小超曲面，其在黎曼体积测度下是等分布的。证明结合了体积谱的 Weyl 法则与一种新颖的横截性论证，利用 $N$-参数度量变形和 Sharp 的紧致性定理，表明这些超曲面上的积分加权平均收敛于流形上的整体平均值。

ABSTRACT

For almost all Riemannian metrics (in the $C^\infty$ Baire sense) on a closed manifold $M^{n+1}$, $3\leq (n+1)\leq 7$, we prove that there is a sequence of closed, smooth, embedded, connected minimal hypersurfaces that is equidistributed in $M$. This gives a quantitative version of the main result of \cite{irie-marques-neves}, by Irie and the first two authors, that established denseness of minimal hypersurfaces for generic metrics. As in \cite{irie-marques-neves}, the main tool is the Weyl Law for the Volume Spectrum proven by Liokumovich and the first two authors in \cite{liokumovich-marques-neves}.

研究动机与目标

• 建立 Irie-Marques-Neves 密度定理在极小超曲面上的定量强化，适用于通用度量。
• 证明对于闭合流形上维度满足 $3 \leq n+1 \leq 7$ 的 $C^\infty$ 黎曼度量，存在一列在黎曼体积测度下等分布的极小超曲面。
• 通过度量扰动和变测度收敛，将体积谱的 Weyl 法则推广为定量等分布结果。
• 解决如下问题：是否可利用实现 $p$-宽度的极小超曲面来构造通用度量下的等分布序列。

提出的方法

• 使用 Liokumovich、Marques 和 Neves 证明的体积谱 Weyl 法则，该法则将 $p$-宽度 $\omega_p(M,g)$ 与流形的体积联系起来：$\lim_{p\to\infty} \omega_p(M,g) p^{-1/(n+1)} = a(n) \text{vol}(M,g)^{n/(n+1)}$。
• 应用 $N$-参数度量变形以推广一维扰动，从而实现对 $p$-宽度关于度量变化的导数的控制。
• 利用 White 的结构定理与横截性理论，计算 $p$-宽度的导数为极小超曲面的面积导数，从而将度量变化与变测度行为联系起来。
• 利用 Sharp 的紧致性定理，在度量收敛时提取出支持在极小超曲面上的变测度的收敛子列。
• 通过涉及泛函 $g \mapsto \omega_p(g)p^{-1/(n+1)} - a(n)\text{vol}(g)^{n/(n+1)}$ 的梯度的凸组合的极限论证，推导出等分布性。
• 通过证明光滑函数与对称 $(0,2)$-张量在这些超曲面上的归一化加权平均收敛于流形上的整体平均值，建立等分布性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在闭合流形上维度满足 $3 \leq n+1 \leq 7$ 的通用黎曼度量下，是否存在一列闭合、光滑、嵌入、连通的极小超曲面，使其在该度量下等分布？
• RQ2 体积谱的 Weyl 法则是否可用于在通用度量扰动下推导极小超曲面的定量等分布性质？
• RQ3 极小超曲面的等分布性是否与极小极大构造中实现 $p$-宽度的超曲面有关？
• RQ4 本文的方法能否推广至更高维情形（$n+1 > 7$）以处理极小超曲面可能具有奇点集的奇异情形？
• RQ5 对于此类等分布序列，单位测度 $\mu_{\Sigma_j}/\mu_{\Sigma_j}(M)$ 是否收敛于归一化的黎曼体积测度 $\mu/\mu(M)$？

主要发现

• 对于闭合流形 $M^{n+1}$ 上 $C^\infty$-通用的黎曼度量（其中 $3 \leq n+1 \leq 7$），存在一列闭合、光滑、嵌入、连通的极小超曲面 $\{\Sigma_j\}$，其在 $M$ 中是等分布的。
• 等分布性通过如下收敛性量化：对所有 $f \in C^\infty(M)$，有 $\lim_{q\to\infty} \frac{1}{\sum_{j=1}^q \text{vol}_g(\Sigma_j)} \sum_{j=1}^q \int_{\Sigma_j} f \, d\Sigma_j = \frac{1}{\text{vol}_g M} \int_M f \, dM$。
• 对称 $(0,2)$-张量的情形也成立：$\lim_{q\to\infty} \frac{1}{\sum_{j=1}^q \text{vol}_g(\Sigma_j)} \sum_{j=1}^q \int_{\Sigma_j} \text{Tr}_{\Sigma_j}(h) \, d\Sigma_j = \frac{1}{\text{vol}_g M} \int_M \frac{n \text{Tr}_M h}{n+1} \, dM$。
• 证明依赖于一种新颖的横截性论证，结合 $N$-参数度量变形，以及如下事实：泛函 $g \mapsto \omega_p(g)p^{-1/(n+1)} - a(n)\text{vol}(g)^{n/(n+1)}$ 的临界点产生等分布的极小超曲面。
• 作者通过使用凸组合梯度的极限论证，克服了该泛函的不可微性，并应用 Sharp 的紧致性定理提取出收敛的变测度。
• 结果表明，归一化计数测度 $\frac{\sum_{j=1}^q \mu_{\Sigma_j}}{\sum_{j=1}^q \mu_{\Sigma_j}(M)}$ 弱收敛于归一化的黎曼体积测度 $\mu/\mu(M)$。