[论文解读] Equidistribution of Weierstrass points on curves over non-Archimedean fields

Omid Amini|arXiv (Cornell University)|Dec 2, 2014

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 24被引用 9

一句话总结

本文建立了非阿基米德域上曲线的 Weierstrass 点的 Mumford 与 Neeman 等分布定理的非阿基米德类比。利用 Berkovich 解析几何与极限线丛理论，证明了高阶张量幂的正次数线丛上 Weierstrass 点所支撑的离散测度弱收敛于曲线解析化上的典范可接受（Zhang-Arakelov）测度。

ABSTRACT

We prove equidistribution of Weierstrass points on Berkovich curves. Let $X$ be a smooth proper curve of positive genus over a complete algebraically closed non-Archimedean field $K$ of equal characteristic zero with a non-trivial valuation. Let $L$ be a line bundle of positive degree on $X$. The Weierstrass points of powers of $L$ are equidistributed according to the Zhang-Arakelov measure on the analytification $X^{an}$. This provides a non-Archimedean analogue of a theorem of Mumford and Neeman. Along the way we provide a description of the reduction of Weierstrass points, answering a question of Eisenbud and Harris.

研究动机与目标

• 建立非阿基米德域上曲线的 Weierstrass 点的 Mumford-Neeman 等分布定理的非阿基米德类比。
• 描述曲线的半稳定模型上 Weierstrass 点的约化，回答 Eisenbud 与 Harris 提出的问题。
• 证明归一化 Weierstrass 点测度弱收敛于 Berkovich 解析化最小骨架上的典范可接受测度。
• 证明 Weierstrass 点在半稳定模型的特殊纤维的某个分支上约化的比例收敛于亏格之比。
• 在特征零下，通过极限线丛完全描述度量图上 Weierstrass 除子的约化。

提出的方法

• 利用 Berkovich 解析化 $X^{\operatorname{an}}$ 及其最小骨架 $\Gamma$ 上的典范可接受测度 $\mu_{\mathrm{ad}}$，其中 $\Gamma$ 是一个有限度量图。
• 通过包含映射 $\iota: \Gamma \hookrightarrow X^{\operatorname{an}}$ 的推出，将等分布问题约化到骨架 $\Gamma$。
• 应用极限线丛理论（由 Eisenbud-Harris 扩展）来描述 $\Gamma$ 上 Weierstrass 除子的约化。
• 利用离散调和函数及其拉普拉斯算子分析张量幂下 Weierstrass 点的渐近行为。
• 使用收缩映射 $\tau: X^{\operatorname{an}} \twoheadrightarrow \Gamma$ 将测度从解析化转移到骨架。
• 应用紧致性论证与边上的斜率估计，证明归一化离散测度 $\mu_n = \frac{1}{\deg(W_n)}\delta_{W_n}$ 弱收敛于 $\mu_{\mathrm{ad}}$。

实验结果

研究问题

• RQ1 在弱收敛于典范可接受测度的意义下，非阿基米德域上曲线的 Weierstrass 点是否满足等分布？
• RQ2 Weierstrass 点在半稳定模型的特殊纤维的分支上约化时如何表现？
• RQ3 能否通过极限线丛完全描述半稳定退化中 Weierstrass 除子的约化？
• RQ4 约化到特殊纤维的某个不可约分支的 Weierstrass 点的渐近比例是多少？
• RQ5 最小骨架上的典范可接受测度如何与曲线及其线丛的几何相关？

主要发现

• 在 $L^{\bigotimes n}$ 的 Weierstrass 点集合上，归一化离散测度 $\frac{1}{\deg(\mathcal{W}_n)}\delta_{\mathcal{W}_n}$ 弱收敛于 $X^{\operatorname{an}}$ 上的典范可接受测度 $\mu_{\mathrm{ad}}$。
• 通过极限线丛完全描述了骨架 $\Gamma$ 上 Weierstrass 除子 $\mathcal{W}_n$ 的约化，为 Eisenbud 与 Harris 关于约化行为的问题提供了完整解答。
• 对于正规半稳定模型特殊纤维中亏格为 $g_0$ 的分支 $\mathfrak{C}_0$，约化到 $\mathfrak{C}_0$ 的 Weierstrass 点的比例在 $n \to \infty$ 时趋于 $g_0/g$。
• 当边为桥时，骨架上某点 $x_0$ 处所有切方向上最小斜率之和的极限 $s^\nu_{n,0}$ 为零；否则为有限值。
• 在适当归一化下，沿边 $e$ 的函数差值 $F_n(x) - F_n(y)$ 的渐近行为收敛于度量图中边的长度 $\rho_e$。
• 当关联函数 $F_n$ 的拉普拉斯算子的总变差有界时，边 $e$ 必为桥，且等分布公式中的对应项消失。