[论文解读] Equidistribution results for singular metrics on line bundles

Dan Coman, George Marinescu|arXiv (Cornell University)|Aug 25, 2011

Geometry and complex manifolds参考文献 33被引用 5

一句话总结

本论文建立了在配备奇异正度量的线丛上，Fubini-Study上同调与随机全纯截面公共零点的等分布结果。在Bergman核的温和渐近条件下，证明了缩放后的Fubini-Study上同调与期望零上同调弱收敛于奇异度量的曲率上同调，将Tian的可积性定理推广至具有在紧致解析子集上受控奇点的奇异情形。

ABSTRACT

Let L be a holomorphic line bundle with a positively curved singular Hermitian metric over a complex manifold X. One can define naturally the sequence of Fubini-Study currents associated to the space of square integrable holomorphic sections of the p-th tensor powers of L. Assuming that the singular set of the metric is contained in a compact analytic subset of X and that the logarithm of the Bergman kernel function associated to the p-th tensor power of L (defined outside the singular set) grows like o(p) as p tends to infinity, we prove the following: 1) the k-th power of the Fubini-Study currents converge weakly on the whole X to the k-th power of the curvature current of L. 2) the expectations of the common zeros of a random k-tuple of square integrable holomorphic sections converge weakly in the sense of currents to to the k-th power of the curvature current of L. Here k is so that the codimension of the singular set of the metric is greater or equal as k. Our weak asymptotic condition on the Bergman kernel function is known to hold in many cases, as it is a consequence of its asymptotic expansion. We also prove it here in a quite general setting. We then show that many important geometric situations (singular metrics on big line bundles, Kaehler-Einstein metrics on Zariski-open sets, artihmetic quotients) fit into our framework.

研究动机与目标

• 将Tian关于Fubini-Study上同调渐近等分布的定理推广至具有奇异正度量的全纯线丛。
• 研究当度量在紧致解析子簇 $\Sigma$ 上奇异时，与 $L^2$-全纯截面相关的上同调的收敛性。
• 建立随机 $k$-元截面公共零点的期望上同调弱收敛于曲率上同调的 $k$ 次幂 $c_1(L,h)^k$ 的结果。
• 证明在一般设定下，$X\setminus\Sigma$ 上的Bergman核函数满足 $o(p)$ 增长条件，从而实现全局收敛。

提出的方法

• 通过 $X\setminus\Sigma$ 上 $L^p$ 的 $L^2$-全纯截面的正交基所诱导的Kodaira映射定义Fubini-Study上同调 $\gamma_p$。
• 使用去奇异化技巧，并在 $X\setminus\Sigma$ 上构造奇异度量 $h$ 的光滑扰动 $h_\varepsilon$，以保证度量与曲率的正则性。
• 在强拟凸域上应用带有边界条件的 $\overline{\partial}$-Neumann 方法，推导 $\overline{\partial}$-拉普拉斯算子的谱间隙估计。
• 利用带边界项的Bochner-Kodaira-Nakano公式，在 $X\setminus\Sigma$ 的紧致子集上建立Bergman核函数的完整渐近展开。
• 在一般几何假设下（包括大线丛与算术商），证明Bergman核函数满足 $o(p)$ 增长条件。
• 利用曲率上同调 $c_1(L,h)$ 及其 $k$ 次幂刻画 $\gamma_p^k$ 与期望零上同调的弱极限。

实验结果

研究问题

• RQ1 当度量 $h$ 沿紧致解析子集 $\Sigma$ 奇异时，缩放后的Fubini-Study上同调序列 $\gamma_p^k / p^k$ 是否在整体流形 $X$ 上弱收敛于 $c_1(L,h)^k$？
• RQ2 在相同的奇异度量假设下，$k$-元 $L^2$-全纯截面的公共零点的期望上同调是否弱收敛于 $c_1(L,h)^k$？
• RQ3 在何种几何条件下，$X\setminus\Sigma$ 上的Bergman核函数在 $p \to \infty$ 时呈现 $o(p)$ 增长？
• RQ4 Tian定理在何种程度上可推广至大线丛上的奇异度量，或具有有界负Ricci曲率的Zariski开集？
• RQ5 在存在奇点（特别是乘子理想层或算术商）的情形下，Bergman核的渐近行为是否可被控制？

主要发现

• 即使度量 $h$ 沿紧致解析子集 $\Sigma$ 奇异，只要Bergman核满足 $o(p)$ 增长条件，Fubini-Study上同调 $\gamma_p^k$ 在 $p \to \infty$ 时仍弱收敛于 $c_1(L,h)^k$。
• 在 $\operatorname{codim}\Sigma \geq k$ 条件下，随机 $k$-元 $L^2$-全纯截面的公共零点的期望上同调弱收敛于 $c_1(L,h)^k$。
• 通过谱间隙估计与 $\overline{\partial}$-Neumann 方法，在一般设定下验证了Bergman核函数的 $o(p)$ 增长条件。
• Bergman核函数的渐近展开在 $X\setminus\Sigma$ 的紧致子集上成立，从而支持了收敛结果。
• 结果适用于重要几何情形，包括大线丛上的奇异度量、Zariski开集上的Kähler-Einstein度量，以及算术商。
• 该框架可推广至乘子理想层与1-凸流形，在适当的曲率与度量假设下，相应的收敛定理依然成立。