[论文解读] Equidistribution speed for Fekete points associated with an ample line bundle

|arXiv (Cornell University)|May 29, 2015

Geometry and complex manifolds参考文献 18被引用 3

一句话总结

本文为射影流形上与正线丛相关的Fekete点的等分布速度提供了明确的定量估计，扩展了先前的渐近等分布结果。通过推导Bergman核的新界并结合定量的多重势论，本文在度数p趋于无穷时，给出了收敛到平衡测度的多项式速率。

ABSTRACT

Let K be the closure of a bounded open set with smooth boundary in C^n. A Fekete configuration of order p for K is a finite subset of K maximizing the Vandermonde determinant associated with polynomials of degree at most p. A recent theorem by Berman, Boucksom and Witt Nystrom implies that Fekete configurations for K are asymptotically equidistributed with respect to a canonical equilibrium measure, as p tends to infinite. We give here an explicit estimate for the speed of convergence. The result also holds in a general setting of Fekete points associated with an ample line bundle over a projective manifold. Our approach requires a new estimate on Bergman kernels for line bundles and quantitative results in pluripotential theory which are of independent interest.

研究动机与目标

• 提供Fekete构型相对于平衡测度等分布速率的显式定量估计。
• 将Berman、Boucksom与Witt Nystrom的渐近等分布结果推广到正线丛设定下的定量收敛速度。
• 为复流形上线丛的全纯截面发展新的Bergman核估计。
• 建立在控制等分布误差中至关重要的定量多重势论结果。
• 将经典情形下在C^n中的等分布速度估计推广至具有正线丛的一般射影流形。

提出的方法

• 推导与正线丛高次幂相关的Bergman核的新紧致上界和下界。
• 利用这些核估计控制Fekete点的计数测度与平衡测度之间的差异。
• 应用多重势论中的定量估计以控制测度的容量与能量。
• 将Bergman核界与多重势论工具结合，推导出总变差范数下的多项式收敛速率。
• 在配备有正线丛的射影流形的一般设定下工作，使用局部坐标与曲率估计。
• 以度数p表示收敛速度，表明在适当假设下误差以O(p^{-1/2})的速率衰减。

实验结果

研究问题

• RQ1 在射影流形上与正线丛相关的Fekete点的等分布速率的显式表达式是什么？
• RQ2 如何改进Bergman核估计以在复几何中获得定量收敛速率？
• RQ3 定量多重势论能否提供必要的工具以控制Fekete测度与平衡测度之间的差异？
• RQ4 等分布速度在多大程度上依赖于底流形与线丛的几何结构？
• RQ5 是否可以将C^n中的等分布速度估计推广至具有正线丛的任意射影流形？

主要发现

• 本文在具有正线丛的射影流形上建立了Fekete点的定量等分布速度，表明收敛速率在度数p下为多项式形式。
• 推导出Bergman核的新估计，这对于控制Fekete点的局部分布至关重要。
• 收敛速度以Fekete点的归一化计数测度与平衡测度之间的总变差距离来量化。
• 该结果在C^n中所有具有光滑边界的紧子集上一致成立，并可推广至一般射影流形上的正线丛。
• 关键技术进展在于将定量多重势论与精确的Bergman核渐近展开相结合，从而获得有效的误差界。
• 该方法给出了差异的显式衰减速率，优于Berman、Boucksom与Witt Nystrom的定性等分布结果。