[论文解读] Equilibrium configurations for generalized Frenkel-Kontorova models on quasicrystals

Rodrigo Treviño|arXiv (Cornell University)|Mar 14, 2017

Quasicrystal Structures and Properties参考文献 22被引用 5

一句话总结

该论文通过使用源自有限局部复杂度的自仿射、重复性Delone集的几乎周期势能，证明了准晶结构上广义Frenkel-Kontorova模型的平衡构型存在性。通过应用反积分极限技术与配置空间中指定旋转矢量的压缩映射论证，证明了在任意给定旋转数/矢量下，即使在多维与非周期性设置中，只要势能和相互作用满足轻微的光滑性与非退化条件，平衡解均存在。

ABSTRACT

I study classes of generalized Frenkel-Kontorova models whose potentials are given by almost-periodic functions which are closely related to aperiodic Delone sets of finite local complexity. Since such Delone sets serve as good models for quasicrytals, this setup presents Frenkel-Kontorova models for the type of aperiodic crystals which have been discovered since Shechtman's discovery of quasicrystals. Here I consider models with configurations $u:\mathbb{Z}^r ightarrow \mathbb{R}^d$, where $d$ is the dimension of the quasicrystal, for any $r$ and $d$. The almost-periodic functions used for potentials are called pattern-equivariant and I show that if the interactions of the model satisfies a mild $C^2$ requirement, and if the potential satisfies a mild non-degeneracy assumption, then there exist equilibrium configurations of any prescribed rotation rotation number/vector/plane. The assumptions are general enough to satisfy the classical Frenkel-Kontorova models and its multidimensional analogues. The proof uses the idea of the anti-integrable limit.

研究动机与目标

• 将经典Frenkel-Kontorova模型推广至非周期性准晶结构，使用源自Delone集的几乎周期势能。
• 在多维与非周期性设置中，为具有任意旋转矢量的广义模型建立平衡构型的存在性。
• 将经典变分与动力系统框架推广至高阶格点（Z^r）与高维配置空间（R^d）。
• 在势能与相互作用项的最小正则性与非退化性假设下，证明存在性结果。
• 为具有有限局部复杂度与自相似缩放的系统建立平衡解的框架，适用于准晶物理。

提出的方法

• 模型定义在Z^r上，配置为u: Z^r → R^d，相互作用{HB}索引于Z^r的有限子集B ⊂ Z^r。
• 作用泛函A(u)结合了局部相互作用HB(u)与势能V(ui)，其中V假设为C3类且Λ-等变（模式等变）。
• 平衡构型是变分方程∇ui A(u) = 0的解，其简化为涉及离散拉普拉斯算子与势能梯度的非线性系统。
• 通过引入与Delone集Λ的自仿射展开相关的缩放参数A^{-n}，应用反积分极限技术。
• 在接近参考构型a ∈ W^{η,h,R,n}_V的配置空间上应用压缩映射，使用通过势能梯度逆与局部相互作用项定义的映射Φ。
• 证明依赖于K映射（∇V的逆）的二阶导数的统一有界性，以及由仿射变换A的扩张特征值λ_d > 1导出的衰减估计。

实验结果

研究问题

• RQ1 广义Frenkel-Kontorova模型在具有任意旋转矢量的准晶结构上能否存在平衡构型？
• RQ2 在非周期性、有限局部复杂度设置中，势能与相互作用项需满足何种条件，才能确保此类平衡解的存在？
• RQ3 反积分极限方法如何适应具有自相似缩放的准晶格？
• RQ4 经典关于旋转数与不变集的结果在多维与非周期系统中可推广到何种程度？
• RQ5 能否保证对配置空间中任意给定的渐近行为h(i) = u(i)/i，平衡解的存在性？

主要发现

• 对于任意给定的旋转矢量h: Z^r → R^d，在势能V满足轻微C3类与非退化性条件的前提下，至少存在一个平衡构型u ∈ C^{h}_{Z^{r},d}，满足变分方程(5)。
• 在自仿射、重复性且有限局部复杂度的Delone集上，广义Frenkel-Kontorova模型的此类平衡构型存在性已得到保证。
• 证明表明，当η与R充分大时，对所有n ∈ N ∪ {0}，集合W^{η,h,R,n}_V非空，从而确保了压缩映射所需参考构型a的存在。
• 在邻域Π^{ε,h}_{V,η}(a)上构造了压缩映射Φ_{ε,h,n,V,a,η}，其具有唯一不动点，对应于一个平衡构型。
• 通过仿射变换A的扩张特征值λ_d > 1带来的指数衰减，实现了压缩性质，确保了迭代方案的统一收敛。
• 所得平衡构型u满足∥u_i − h(i)∥ < ∞，且为离散欧拉-拉格朗日方程(14)的解，确认了其物理相关性。