[论文解读] Equilibrium distributions and discrete Schur-constant models

Anna Castañer, M. Mercè Claramunt Bielsa|arXiv (Cornell University)|Sep 28, 2017

Statistical Distribution Estimation and Applications参考文献 15被引用 5

一句话总结

本文引入了一类新的多元离散Schur-constant模型，称为Schur-constant均衡分布模型，其由存在(n−1)阶均衡分布的单变量生存函数生成。该模型利用迭代均衡分布定义具有和结构的联合生存函数，关键结果表明：当分量服从泊松分布时，其和仍为泊松分布，且相关系数显式表示为均值与高阶矩的函数。

ABSTRACT

This paper introduces Schur-constant equilibrium distribution models of dimension n for arithmetic non-negative random variables. Such a model is defined through the (several orders) equilibrium distributions of a univariate survival function. First, the bivariate case is considered and analyzed in depth, stressing the main characteristics of the Poisson case. The analysis is then extended to the multivariate case. Several properties are derived, including the implicit correlation and the distribution of the sum.

研究动机与目标

• 通过仅要求(n−1)阶均衡分布存在的条件，将Schur-constant模型扩展至更广泛的离散生存函数类别。
• 基于离散平稳超额算子与迭代均衡分布，构建多元均衡模型。
• 刻画模型的联合生存函数、边缘分布及和分布。
• 以基部分布的原点矩表示皮尔逊相关系数的显式表达式。
• 证明当基部分布为泊松分布时，分量之和仍服从泊松分布。

提出的方法

• 通过单变量生存函数S的(n−1)阶均衡分布定义Schur-constant多元均衡模型。
• 利用离散平稳超额算子生成(n−1)阶均衡分布，确保生存函数为n-单调。
• 通过生存函数的(n−1)阶前向差分推导和Z = X₁ + ⋯ + Xₙ的概率质量函数。
• 应用分部求和与多项式分解，递归表达均衡分布的矩。
• 使用递推公式µᵢ:ⱼ = 1/μᵢ₋₁:₁ ∑ᵣ₌₁^{j+1} aᵣ(j+1) μᵢ₋₁:ᵣ 计算高阶矩。
• 将皮尔逊相关系数表示为基部分布的(n−1)阶均衡分布的均值与方差的函数。

实验结果

研究问题

• RQ1 何种单变量生存函数条件可允许构造Schur-constant多元均衡模型？
• RQ2 和Z = X₁ + ⋯ + Xₙ的分布与基生存函数S有何关系？
• RQ3 多元均衡模型中皮尔逊相关系数的显式形式为何？
• RQ4 当基分量X为泊松分布时，和Z是否仍为泊松分布？
• RQ5 均衡分布的矩与原始分布的原点矩之间有何关系？

主要发现

• 在Schur-constant多元均衡模型中，和Z = X₁ + ⋯ + Xₙ的概率质量函数为P(Z = z) = P(X = z + n − 1) / (μ · μ₁:₁ · ⋯ · μₙ₋₂:₁) × (z + n − 1 choose n − 1)。
• 当基变量X服从均值为λ的泊松分布时，和Z仍服从均值为λ的泊松分布。
• 在二元情形下，相关系数为ρ = −λ / (6 + λ)，一般情况下，其依赖于基分布的均值与高阶矩。
• 当n = 3时，相关系数为ρ = 1/2 − (μ − E(X³))(2μ − 3E(X²) + E(X³)) / (2μ² + 2(E(X³))² + 3E(X²)(E(X²) − E(X⁴)) + μ(−3E(X²) − 4E(X³) + 3E(X⁴)))。
• 当n = 4时，相关系数表示为ρ = 1/2 − 5(6μ − 11E(X²) + 6E(X³) − E(X⁴))(2μ − E(X²) − 2E(X³) + E(X⁴)) / (2(D − 4μJ))，其中D与J由至E(X⁵)的矩定义。
• 该模型通过将n-单调性要求放宽为仅(n−1)阶均衡分布的存在性，推广了先前的Schur-constant模型。