[论文解读] Equilibrium for Time-Inconsistent Stochastic Linear--Quadratic Control under Constraint

Ying Hu, Jianhui Huang+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 28, 2017

Stochastic processes and financial applications参考文献 20被引用 11

一句话总结

该论文提出了一种新的方法，用于求解在控制输入约束下具有时间不一致性的随机线性二次（LQ）控制问题，采用脉冲扰动和随机最大值原理推导均衡策略。通过前向-后向随机微分方程（FBSDEs）建立了均衡解的存在性与唯一性，并在凸锥约束下给出了均值-方差投资组合选择问题的显式唯一解。

ABSTRACT

In this paper, we study a class of stochastic time-inconsistent linear-quadratic (LQ) control problems with control input constraints. These problems are investigated within the more general framework associated with random coefficients. This paper aims to further develop a new methodology, which fundamentally differs from those in the standard control (without constraints) theory in the literature, to cope with the mathematical difficulties raised due to the presence of input constraints. We first prove that the existence of an equilibrium solution is equivalent to the existence of a solution to some forward-backward stochastic differential equations with constraints. Under convex cone constraint, an explicit solution to equilibrium for mean-variance portfolio selection can be obtained and proved to be unique. Finally, some examples are discussed to shed light on the comparison between our established results and standard control theory.

研究动机与目标

• 解决时间不一致的随机LQ控制问题中控制输入约束带来的数学挑战。
• 开发一种与标准控制理论有本质区别的新框架，特别是在处理约束方面。
• 建立均衡存在性与约束FBSDE系统可解性之间的等价关系。
• 在凸锥约束下，为均值-方差投资组合选择问题推导出显式且唯一的均衡解。
• 比较开环均衡控制与反馈控制及预承诺控制的性能，证明其具有更高的效率。

提出的方法

• 通过开环控制的脉冲扰动定义均衡，避免依赖反馈形式。
• 应用随机最大值原理，推导在约束条件下均衡的必要与充分条件。
• 将均衡条件简化为带有控制约束的前向-后向随机微分方程（FBSDE）的可解性问题。
• 引入投影算子到约束集K，以处理控制空间中的凸锥约束。
• 推导出显式均衡控制，其形式为包含漂移系数在约束集上投影的线性反馈函数。
• 考虑动态方程中的随机系数，将适用范围扩展至确定性情形之外。

实验结果

研究问题

• RQ1 在控制输入受约束的情况下，时间不一致的LQ控制问题中如何定义和表征均衡策略？
• RQ2 均衡的存在性与约束FBSDE系统可解性之间存在何种关系？
• RQ3 在凸锥约束下，能否为均值-方差投资组合选择问题推导出显式且唯一的均衡解？
• RQ4 在目标函数值方面，开环均衡控制与反馈控制及预承诺控制相比表现如何？
• RQ5 为何本文推导出的基于反馈的均衡与[3]中的反馈均衡不同，其性能差距的根源是什么？

主要发现

• 均衡解的存在性等价于约束前向-后向随机微分方程（FBSDE）的可解性。
• 在凸锥约束下，为均值-方差投资组合选择问题推导出显式且唯一的均衡控制。
• 开环均衡控制的目标函数值优于预承诺控制和基于反馈的控制，显式表达式表明 $ J(0,x_0;u^*) > J(0,x_0;u^{*pre}) $ 且 $ J(0,x_0;u^{*fbe}) > J(0,x_0;u^{*pre}) $。
• 开环均衡的线性系数并非[3]中反馈方法所用积分方程的解，证实了开环与反馈均衡定义之间的根本差异。
• 该方法适用于随机系数模型，而[3]中使用的HJB方法不适用，从而扩展了现有理论的适用范围。
• 性能比较表明，开环均衡控制在最小化均值-方差目标方面优于反馈控制和预承诺控制。