[论文解读] Equilibrium Problems and Proximal Algorithms in Hadamard Spaces

Poom Kumam, Parin Chaipunya|arXiv (Cornell University)|Jul 28, 2018

Optimization and Variational Analysis参考文献 19被引用 11

一句话总结

本文在不假设凸包有限性质（CHFP）的前提下，建立了广义Hadamard空间中平衡问题解的存在性，证明了在一般Hadamard空间中成立KKM原理。提出了一种基于双函数预解算子的近似算法，证明其在温和的连续性和有界性条件下Δ-收敛于平衡问题的解，且通过步长选择可控制目标函数值的收敛速度。

ABSTRACT

In this paper, we consider the equilibrium problems and also their regularized problems under the setting of Hadamard spaces. The solution to the regularized problem is represented in terms of resolvent operators. As an essential machinery in the existence of an equilibrium, we first prove that the KKM principle is attained in general Hadamard spaces without assuming the compactness of the closed convex hull of a finite set. We construct the proximal algorithm based on this regularization and give convergence analysis adequately.

研究动机与目标

• 在不假设凸包有限性质（CHFP）的前提下，将KKM原理推广至一般Hadamard空间。
• 在标准连续性、凸性和强制性假设下，建立平衡问题解的存在性。
• 研究Hadamard空间中与双函数相关联的预解算子的性质。
• 通过预解迭代构造一种近似算法，并分析其收敛行为。
• 引入并利用“偏斜Δ-上半连续性”的概念，以确保算法的收敛性。

提出的方法

• 利用测地线凸性和度量性质，在任意Hadamard空间中证明KKM原理，无需假设有限集凸包的紧致性。
• 为双函数 $ F $ 定义预解算子 $ J_{\mu F} $，并证明其为单值且牢固非扩张。
• 通过Minty型形式化，建立原问题与对偶问题之间的关系。
• 通过迭代应用 $ J_{\lambda_k F} $ 构造近似算法，其中步长 $ \lambda_k $ 保持远离零。
• 在Hadamard空间中采用Δ-收敛性分析，结合Fejér单调性与弱聚点论证。
• 引入“偏斜Δ-上半连续性”概念，以在标准连续性之外推广收敛性条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以在不假设凸包有限性质（CHFP）的前提下，在一般Hadamard空间中建立KKM原理？
• RQ2 在Hadamard空间中，双函数 $ F $ 关联的预解算子 $ J_{\mu F} $ 在何种条件下保持良好定义且非扩张？
• RQ3 基于预解迭代的近似算法在Hadamard空间中的收敛性可提供何种保证？
• RQ4 偏斜Δ-上半连续性概念如何影响近似算法的收敛性？
• RQ5 能否独立于序列收敛性，控制目标函数值 $ \inf_{y\in K} F(x^k, y) \to 0 $ 的收敛速度？

主要发现

• 在任意Hadamard空间中，KKM原理成立，且无需假设有限集凸包的紧致性。
• 对于满足标准连续性与凸性条件的任意双函数 $ F $，预解算子 $ J_{\mu F} $ 为单值且牢固非扩张。
• 当步长 $ \lambda_k $ 保持远离零时，由 $ x^k = J_{\lambda_k F}(x^{k-1}) $ 定义的近似算法Δ-收敛于平衡问题的解。
• 在假设 $ F $ 具有偏斜Δ-上半连续性的前提下，即使在缺乏强连续性假设时，近似算法仍能收敛至解。
• 通过选择合适的步长，可使目标函数值 $ \inf_{y\in K} F(x^k, y) $ 以任意快的速度收敛至零，尽管这并不意味着序列 $ (x^k) $ 本身收敛迅速。
• 在相关问题中，向量场 $ A $ 的满射性条件可被放宽，但其在确保预解算子定义域方面的作用仍为开放问题。