[论文解读] Equilibrium States for Expanding Thurston Maps

Zhiqiang Li|arXiv (Cornell University)|Oct 18, 2014

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 22被引用 5

一句话总结

本文通过热力学形式化方法，建立了在2-球面 equipped with a visual metric 的扩张Thurston映射的平衡态的存在性与唯一性。证明了这些平衡态是精确测度、混合且遍历的，并展示了在Hölder连续势函数下，预像与随机逆轨道向平衡态的等分布性。

ABSTRACT

In this paper, we use the thermodynamical formalism to show that there exists a unique equilibrium state $μ_ϕ$ for each expanding Thurston map $f: S^2 ightarrow S^2$ together with a real-valued Hölder continuous potential $ϕ$. Here the sphere $S^2$ is equipped with a natural metric induced by $f$, called a visual metric. We also prove that identical equilibrium states correspond to potentials which are co-homologous upto a constant, and that the measure-preserving transformation $f$ of the probability space $(S^2,μ_ϕ)$ is exact, and in particular, mixing and ergodic. Moreover, we establish versions of equidistribution of preimages under iterates of $f$, and a version of equidistribution of a random backward orbit, with respect to the equilibrium state. As a consequence, all the above results hold for a postcritically-finite rational map with no periodic critical points on the Riemann sphere equipped with the chordal metric.

研究动机与目标

• 建立在2-球面上，针对扩张Thurston映射与Hölder连续势函数的平衡态的存在性与唯一性。
• 证明在映射动力学下，平衡态为精确测度，因而为混合与遍历测度。
• 展示在前向迭代下，点的预像向平衡态的等分布性。
• 通过热力学形式化方法，将关于最大测度熵结果推广至一般Hölder势函数。
• 证明共轭势函数产生的平衡态仅相差一个常数平移。

提出的方法

• 在由扩张Thurston映射诱导的视觉度量下的2-球面 $S^2$ 上应用热力学形式化。
• 应用Ruelle算子与谱论分析与势函数 $\phi$ 相关的转移算子。
• 利用变分原理，将平衡态识别为使度量压力最大的测度。
• 通过归一化转移算子迭代的收敛性，建立经验测度的弱*收敛性。
• 应用Furstenberg与Kifer关于马尔可夫过程的结果，证明随机逆轨道的几乎必然等分布性。
• 依赖于势函数的Hölder连续性与映射的扩张性质，以确保谱间隙与收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于每个扩张Thurston映射 $f: S^2 \to S^2$ 与实值Hölder连续势函数 $\phi$，是否存在唯一的平衡态？
• RQ2 平衡态的遍历性质（如混合性、精确性）如何与映射的动力学相关联？
• RQ3 在前向迭代下，点的预像是否向平衡态等分布？
• RQ4 随机逆轨道是否保持平衡态不变，且经验测度是否弱*收敛至该平衡态？
• RQ5 平衡态在共轭势函数下在多大程度上保持不变？

主要发现

• 对于每个扩张Thurston映射 $f: S^2 \to S^2$ 与实值Hölder连续势函数 $\phi$，存在唯一的平衡态 $\mu_\phi$。
• 平衡态 $\mu_\phi$ 为精确测度，因此为混合与遍历测度，构成强混沌不变测度。
• 在前向迭代下，任意点的预像弱*收敛至 $\mu_\phi$，如 $\nu_n$ 的弱*收敛所表明。
• 由Ruelle算子 $\mathcal{L}_{\widetilde{\phi}}$ 生成的随机逆轨道以几乎必然的方式等分布于 $\mu_\phi$。
• 共轭势函数的平衡态仅相差一个常数，即 $\mu_\phi = \mu_{\phi + c}$ 对任意常数 $c$ 成立。
• 所有结果可推广至黎曼球面上无周期临界点的后临界有限有理映射，且在弦度量下成立。