[论文解读] Equilibrium states for Mañé diffeomorphisms

Vaughn Climenhaga, Tom Fisher+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 16, 2017

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 29被引用 3

一句话总结

本文建立了在 Hölder 连续势函数下，Mañé 微分同胚——在环面上具有强遍历性、部分双曲性的微分同胚——的平衡态的存在性与唯一性。通过压强估计和一种基于 Hölder 半范数的新判据，证明了 SRB 测度是几何势 $\varphi^u(x) = -\log\|Dg|_{E^u(x)}\|$ 的唯一平衡态，并进一步推导出这些态的大偏差与多分形结果。

ABSTRACT

We study thermodynamic formalism for the family of robustly transitive diffeomorphisms introduced by Mañé, establishing existence and uniqueness of equilibrium states for natural classes of potential functions. In particular, we characterize the SRB measures for these diffeomorphisms as unique equilibrium states for a suitable geometric potential. We also obtain large deviations and multifractal results for the unique equilibrium states produced by the main theorem.

研究动机与目标

• 建立在 Hölder 连续势函数下 Mañé 微分同胚的平衡态的存在性与唯一性。
• 将 SRB 测度刻画为几何势 $\varphi^u(x) = -\log\|Dg|_{E^u(x)}\|$ 的唯一平衡态。
• 推导 Mañé 族中唯一平衡态的大偏差与多分形结果。
• 基于势函数的 Hölder 半范数，提供适用于广泛函数类的唯一性判据。
• 通过将基于压强的判据应用于非 Anosov 的部分双曲动力系统，将热力学形式拓展至非一致双曲系统。

提出的方法

• 将先前工作（Climenhaga-Thompson, 2017）中的压强理论判据应用于 Mañé 微分同胚，重点关注指定性与膨胀性障碍。
• 使用一种新判据 $\Psi(\rho,r,\varphi) < P(\varphi;g)$ 保证平衡态的唯一性，其中 $\Psi$ 依赖于 $\varphi$ 的上确界、拓扑熵以及熵函数 $H(r)$。
• 利用从 $f_A$ 下平衡态熵导出的压强下界 $P(\varphi;g)$，使得估计可表示为 Hölder 半范数 $|\varphi|_\alpha$ 的函数。
• 通过 Pfister-Sullivan 理论应用上层-2 大偏差原理，依赖于平衡态的弱上 Gibbs 性质。
• 利用变分原理与 Lyapunov 指数分析，识别出 SRB 测度为 $\varphi^u$ 的唯一平衡态。
• 通过压强函数 $P(t\varphi^u)$ 的 Legendre 变换应用多分形形式，将水平集的拓扑熵与平衡态熵联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，Mañé 微分同胚对 Hölder 连续势函数具有唯一的平衡态？
• RQ2 Mañé 微分同胚的 SRB 测度能否被刻画为几何势的唯一平衡态？
• RQ3 唯一性判据对势函数 Hölder 半范数的依赖关系如何？当 $\rho,r \to 0$ 时，其变化趋势如何？
• RQ4 Mañé 微分同胚的唯一平衡态是否满足大偏差原理？其衰减速率如何？
• RQ5 系统的多分形结构为何？Lyapunov 指数水平集的拓扑熵与压强函数之间有何关系？

主要发现

• 定理 A 提供了一个充分条件 $\Psi(\rho,r,\varphi) < P(\varphi;g)$，以保证平衡态的存在性与唯一性，其中 $\Psi$ 明确定义为 $\varphi$、$h$、$L$ 和 $H(r)$ 的函数。
• 定理 B 表明，对任意固定的 $\alpha$-Hölder 势函数 $\varphi$，存在任意小的 $\rho,r$，使得所有 $g \in \mathcal{U}_{\rho,r}$ 均具有唯一平衡态，且当 $\rho,r \to 0$ 时，半径 $T(\rho,r;\alpha) \to \infty$。
• 对于 $g \in \mathcal{U}_{\rho,r}$，SRB 测度是几何势 $\varphi^u$ 的唯一平衡态，且 $P(\varphi^u;g) = 0$。
• 对于 $\varphi^u$ 的唯一平衡态 $\mu_1$，有 $h_{\mu_1}(g) - \lambda^+(\mu_1) = 0$，确认其为 SRB 测度。
• 平衡态满足上层-2 大偏差原理，衰减速率由自由能导出的函数 $q(\varepsilon)$ 控制，这是由于其具有弱上 Gibbs 性质。
• 多分形分析得出 $h_{\mathrm{top}}(K_\chi,g) = \inf_t \{P(t\varphi^u) + t\chi\}$，其中 $\chi \in [\chi_1, \chi_0]$，且下确界在某 $t \in [0,1]$ 处取得，且 $h_{\mathrm{top}}(K_\chi,g) = h_{\mu_t}(g)$。