[论文解读] Equilibrium with coherent risk

Alexander S. Cherny|ArXiv.org|May 2, 2006

Stochastic processes and financial applications参考文献 13被引用 12

一句话总结

本文在一致风险测度下的金融均衡中建立了全局最优与竞争最优的等价性，提供了对偶描述，并利用生成元给出了显式的几何解。本文提出了三种形式的最优定价，并证明了在约束条件下，均衡价格可通过聚合风险函数的最小化来计算，将经典的一般均衡理论扩展至具有市场摩擦的一致风险框架。

ABSTRACT

This paper is the continuation of "Pricing with coherent risk" and deals with further applications of coherent risk measures to problems of finance. First, we study the optimization problem. Three forms of this problem are considered. Furthermore, the results obtained are applied to the optimality pricing. Again three forms of this technique are considered. Finally, we study the equilibrium problem both in the unconstrained and in the constrained forms. We establish the equivalence between the global and the competitive optima and give a dual description of the equilibrium. Moreover, we provide an explicit geometric solution of the constrained equilibrium problem. Most of the results are presented on two levels: on a general level the results have a probabilistic form; for a static model with a finite number of assets, the results have a geometric form.

研究动机与目标

• 将一般均衡理论扩展至具有一致风险测度的模型，解决交易成本、投资组合约束和模糊概率测度等市场摩擦问题。
• 在一致风险下的均衡中建立全局最优与竞争最优的等价性，推广经典帕累托-竞争等价性。
• 利用凸分析与风险测度对偶性，提供均衡的对偶描述，实现均衡价格的显式计算。
• 开发三种不同的最优定价技术——与代理人无关、单代理人和多代理人——每种在不同假设下均产生公平价格。
• 通过风险测度生成元的概念，为约束均衡问题提供显式的几何解法，实现均衡价格与投资组合的计算。

提出的方法

• 以一致风险测度为基础进行投资组合优化与均衡分析，用更稳健的风险评估替代方差。
• 应用先前工作中引入的生成元理论，为有限维模型中的优化与均衡问题提供几何解法。
• 利用凸对偶性，通过风险函数的下确界卷积描述均衡价格，实现对均衡的对偶表征。
• 将均衡建模为变分问题，即在市场出清与预算约束下最小化个体风险函数之和。
• 引入极端测度与生成集的概念，表征约束条件下均衡价格的集合，尤其在约束情形下。
• 通过Arrow-Debreu框架推导均衡条件，其中代理人在其风险约束与交易策略下最大化效用。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有一致风险测度的金融市场中，全局最优与竞争最优在何种条件下等价？
• RQ2 当代理人使用不同风险测度时，最优定价如何形式化？其产生的公平价格区间是什么？
• RQ3 在具交易成本与投资组合约束的约束市场中，均衡价格向量的对偶表示是什么？
• RQ4 能否通过风险测度的生成元几何求解约束均衡问题？若能，具体方法为何？
• RQ5 在公平价格区间产出方面，不同定价技术——与代理人无关、单代理人与多代理人——如何比较？

主要发现

• 在一致风险测度下，全局最优与竞争最优等价，将经典福利定理推广至一致效用框架。
• 均衡价格集合为 $ E = \mathop{\rm argmin}_{x\in G} f(x) $，其中 $ f(x) = \sum_n f_n(x) $，且每个 $ f_n(x) $ 为代理人 $ n $ 的下确界风险函数。
• 对于约束均衡，均衡价格向量被显式计算为个体风险函数 $ f_n(x) $ 之和的最小化点，其中 $ f_n(x) $ 通过风险测度下预期财富的下确界定义。
• 多代理人最优定价技术产生的公平价格区间等于个体公平价格的凸包，反映了集体风险偏好。
• 与代理人无关的最优定价方法在所有代理人具有一致风险测度与历史概率时，对所有代理人产生单一公平价格，这是在一致风险下出人意料的结果。
• 通过生成元提供了约束均衡问题的显式几何解法，图11展示了在两资产情形下的解。