[论文解读] Equisingularite reelle : invariants locaux et conditions de regularite

Georges Comte, Michel Merle|arXiv (Cornell University)|Jun 27, 2007

Geometric Analysis and Curvature Flows被引用 4

一句话总结

本文引入了子解析芽的两个新的有限数值不变量序列：局部化Lipschitz-Killing曲率与复数消失特征的实数类比。证明了其中一个序列中的每个不变量都是另一个序列中不变量的普遍线性组合，从而建立了多维Cauchy-Crofton公式，并通过其与所有维度下投影判别式之间的几何联系，展示了这些不变量在Verdier分层上的连续性。

ABSTRACT

For germs of subanalytic sets, we define two finite sequences of new numerical invariants. The first one is obtained by localizing the classical Lipschitz-Killing curvatures, the second one is the real analogue of the evanescent characteristics introduced by M. Kashiwara. We show that each invariant of one sequence is a linear combination of the invariants of the other sequence. We then connect our invariants to the geometry of the discriminants of all dimension. Finally we prove that these invariants are continuous along Verdier strata of a closed subanalytic set.

研究动机与目标

• 为子解析芽定义新的数值不变量，以捕捉其局部几何与拓扑行为。
• 建立局部化Lipschitz-Killing曲率与复数消失特征实数类比之间的对偶性，推广Cauchy-Crofton公式。
• 将这些不变量与子解析芽在所有维度的平面上投影的判别式几何联系起来。
• 证明这些不变量在子解析分层的Verdier分层上是连续的。
• 在等势性理论中，为复数特征不变量提供一个实数类比。

提出的方法

• 将局部化Lipschitz-Killing曲率序列 $\Lambda^{\ell oc}_{*}(X_y)$ 定义为经典曲率的局部化形式，其中 $\Lambda^{\ell oc}_d(X_y) = \Theta_d(X_y)$，即局部密度。
• 引入极化不变量序列 $\sigma_{*}(X_y)$，作为局部Cauchy-Crofton公式的推广，其中 $\sigma_d(X_y) = \Theta_d(X_y)$。
• 建立矩阵关系 $\Lambda^{\ell oc}_{*} = \mathcal{M} \cdot \sigma_{*}$，其中 $\mathcal{M}$ 是主对角线元素为1的上三角矩阵。
• 将不变量与 $X_y$ 在 $i$-维平面上投影的判别式几何联系起来，其中 $0 \leq i \leq d$。
• 利用子解析分层理论与Verdier正则性理论，证明不变量在分层上的连续性。
• 借助赋值理论与积分几何的结果，特别是Hadwiger型定理，以证明其线性依赖性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何为子解析芽定义一组完整的数值不变量，使其能反映曲率与拓扑行为？
• RQ2 局部化Lipschitz-Killing曲率与复数消失特征实数类比之间是否存在线性关系？
• RQ3 这些不变量如何与芽在不同维度平面投影的判别式几何相关联？
• RQ4 这些不变量在Verdier-正则子解析分层的分层上是否连续？
• RQ5 经典的Cauchy-Crofton公式能否在实子解析设定下推广为多维、不变量理论框架下的形式？

主要发现

• 序列 $\Lambda^{\ell oc}_{*}(X_y)$ 中的每个不变量都是 $\sigma_{*}(X_y)$ 中不变量的普遍线性组合，反之亦然，通过一个主对角线元素为1的矩阵 $\mathcal{M}$ 实现。
• 关系式 $\Lambda^{\ell oc}_{*} = \mathcal{M} \cdot \sigma_{*}$ 将Cauchy-Crofton公式推广至所有维度，形成多维局部Cauchy-Crofton恒等式。
• $\sigma_{*}(X_y)$ 不变量被定义为在一般投影上对构造函数积分的平均值，从而将其与几何测度论联系起来。
• 这些不变量在闭子解析集的Verdier分层上是连续的，扩展了关于局部密度连续性的结果。
• $X_y$ 在 $i$-维平面上投影的判别式几何控制了不变量的行为，特别是通过法丛纤维的维数。
• 该构造为复数等势性不变量（特别是Kashiwara的消失特征）提供了实数对应物。