[论文解读] Equitable 2-partitions of Johnson graphs with the second eigenvalue

Konstantin Vorob’ev|arXiv (Cornell University)|Mar 24, 2020

Graph theory and applications参考文献 4被引用 4

一句话总结

本论文研究了当 $w \geq 4$ 且 $n \geq 2w$ 时，Johnson 图 $J(n,w)$ 的公平 2-分划，重点关注其商矩阵包含第二特征值 $\lambda_2(n,w) = (w-2)(n-w-2) - 2$ 的情形。证明了当 $n > 2w$ 时不存在此类分划，并在 $n = 2w$ 且 $w \geq 7$ 时，完全分类了所有此类分划（模等价关系），发现了两个新的无限族分划。方法结合了特征函数分析、偏差分算子以及由支撑结构导出的块设计的组合约束。

ABSTRACT

We study equitable 2-partitions of the Johnson graphs J(n,w) with a quotient matrix containing the eigenvalue lambda_2(w,n) = (w-2)(n-w-2)-2 in its spectrum. For any w>=4 and n>=2w, we find all admissible quotient matrices of such partitions, and characterize all these partitions for w>=4, n>2w, and for w>=7, n = 2w, up to equivalence.

研究动机与目标

• 对 Johnson 图 $J(n,w)$ 的公平 2-分划进行分类，其商矩阵包含第二特征值 $\lambda_2(n,w)$。
• 确定当 $n > 2w$ 和 $n = 2w$ 时，此类分划的存在性与结构。
• 识别所有可实现的商矩阵，并对 $w \geq 7$、$n = 2w$ 的情形，将分划模等价关系进行特征化。
• 将公平分划的分类拓展至已知结果（$w=3$ 时）之外，并通过特征值约束探讨 Delsarte 猜想的含义。

提出的方法

• 使用 Johnson 图的 $\lambda_i(n,w)$-特征函数，并应用偏差分算子 $f_{j_1,j_2}$ 以降低维度，从而在 $J(n-2,w-1)$ 中导出特征函数。
• 应用引理 1 和引理 2 分析特征函数的结构及其偏差分，识别其恒为零的情形。
• 利用特征函数的支撑结构，定义块设计 $BD(g)$ 和 $SBD(g)$，以分析非零偏差分的分布。
• 导出一个包含 $k_0, k_1, k_2$ 的方程组 (1) —— 分别表示零、$f_1$-等价、$f_2$-等价的偏差分的计数——以约束可能的配置。
• 利用 $bc \leq \left(\frac{b+c}{2}\right)^2$ 导出的不等式和引理 5，对非零偏差分的数量进行上界估计，并排除违反组合约束的配置。
• 应用命题 3 将 $BD(g)$ 中的大块大小与已知构造联系起来，并对小块大小使用反证法以排除虚假解。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $n > 2w$ 时，Johnson 图 $J(n,w)$ 是否存在公平 2-分划，其商矩阵包含 $\lambda_2(n,w)$？
• RQ2 当 $n = 2w$ 且 $w \geq 4$ 时，此类分划的可实现商矩阵是什么？
• RQ3 当 $w \geq 7$ 且 $n = 2w$ 时，是否可以对所有此类分划进行模等价关系的完全特征化？
• RQ4 是否存在超越先前已知构造的新无限族公平 2-分划？

主要发现

• 当 $w \geq 4$ 且 $n > 2w$ 时，Johnson 图 $J(n,w)$ 中不存在公平 2-分划，其商矩阵包含 $\lambda_2(n,w)$。
• 当 $n = 2w$ 且 $w \geq 7$ 时，所有此类公平 2-分划均与构造 1–4 中的构造等价，对应的 $b$ 值分别为 $b = 3w-2$、$b = 2w$、$b = 2w$ 和 $b = 3w$。
• 在 $n = 2w$ 且 $w \geq 7$ 时，发现了两个新的无限族公平 2-分划，分别对应于 $b = 3w-2$ 和 $b = 3w$。
• 当 $w = 8$ 时，唯一可能的解 $b=16$、$c=14$ 导致矛盾，从而排除了非构造性分划的可能性。
• 当 $w = 7$ 时，唯一一致的解为 $b=14$、$c=12$，且 $SBD(g) = \{7,7\}$ 或 $\{8,6\}$，但只有当其与已知构造等价时才可能成立，否则将导致矛盾。
• 当 $w \in \{4,5,6\}$ 时，所有可能的商矩阵均属于已知构造，证实了小 $w$ 情形下的完备性。