[论文解读] Equitable chromatic threshold of complete multipartite graphs

Zhidan Yan, Wei Wang|arXiv (Cornell University)|Jul 16, 2012

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 20被引用 5

一句话总结

本文建立了完全多部图的公平染色阈值的闭式公式和线性时间算法，证明该阈值等于每个部集大小的上取整之和除以一个临界整数 $ h $，其中 $ h $ 是不整除至少两个部集大小的最小正整数。该结果以可证明最优且高效的方法解决了完全多部图的公平染色阈值问题。

ABSTRACT

A proper vertex coloring of a graph is equitable if the sizes of color classes differ by at most one. The equitable chromatic number of a graph $G$, denoted by $χ_=(G)$, is the minimum $k$ such that $G$ is equitably $k$-colorable. The equitable chromatic threshold of a graph $G$, denoted by $χ_=^*(G)$, is the minimum $t$ such that $G$ is equitably $k$-colorable for $k\ge t$. We develop a formula and a linear-time algorithm which compute the equitable chromatic threshold of an arbitrary complete multipartite graph.

研究动机与目标

• 确定完全多部图 $ G = K_{n_1,n_2,\dots,n_l} $ 的公平染色阈值 $ \chi_{=}^{*}(G) $，即满足对所有 $ k \geq t $，$ G $ 均可公平 $ k $-染色的最小 $ t $。
• 开发一种多项式时间算法，以高效计算任意完全多部图的 $ \chi_{=}^{*}(G) $。
• 通过提供完全多部图公平染色阈值精确值的首个已发表证明，解决公平染色领域的一个开放问题，纠正并扩展了陈和吴的先前未发表结果。

提出的方法

• 定义 $ h $ 为满足 $ h $ 不整除至少两个部集大小 $ n_i $ 的最小正整数，或根据情况定义为满足 $ n_i/(h+1) > \lfloor n_i/h \rfloor $ 的最小 $ h $。
• 利用整数分拆理论建模公平染色：每种颜色类的大小要么为 $ \lfloor n/k \rfloor $，要么为 $ \lceil n/k \rceil $，且大小为 $ \lceil n/k \rceil $ 的类的数量由余数 $ r = n \mod k $ 决定。
• 建立公平染色阈值为 $ \chi_{=}^{*}(K_{n_1,\dots,n_l}) = \sum_{i=1}^l \lceil n_i / h \rceil $，其中 $ h $ 通过三步迭代算法计算得出。
• 通过反证法证明该阈值为最小：假设使用更少的颜色数 $ k = \sum \lceil n_i/h \rceil - 1 $，将导致对所有 $ n_i $ 均不存在有效 $ q $-分拆，利用最大与最小 $ q $-分拆的性质进行推导。
• 实现一种线性时间算法，通过扫描部集大小并递增 $ h $ 直至满足停止条件，确保效率。
• 利用关于 $ q $-分拆的引理（存在性、最大性、最小性）及其与 $ \lfloor n/q \rfloor $ 和 $ \lceil n/q \rceil $ 的关系，特别是关于 $ q $-分拆不存在性的推论 2.1。

实验结果

研究问题

• RQ1 完全多部图 $ G = K_{n_1,n_2,\dots,n_l} $ 的公平染色阈值 $ \chi_{=}^{*}(G) $ 的精确值是什么？
• RQ2 公平染色阈值能否相对于图中顶点数在线性时间内计算？
• RQ3 是否存在基于部集大小的 $ \chi_{=}^{*}(K_{n_1,\dots,n_l}) $ 闭式公式？
• RQ4 决定完全多部图中公平可染色所需最小颜色数的结构特性是什么？
• RQ5 公平染色阈值与满足 $ h $ 不整除至少两个部集大小的最小整数 $ h $ 之间有何关系？

主要发现

• 完全多部图 $ K_{n_1,n_2,\dots,n_l} $ 的公平染色阈值恰好为 $ \sum_{i=1}^l \lceil n_i / h \rceil $，其中 $ h $ 是满足 $ h $ 不整除至少两个 $ n_i $ 的最小正整数，或满足 $ n_i/(h+1) > \lfloor n_i/h \rfloor $ 的最小正整数 $ h $（视情况而定）。
• 本文首次发表了完全多部图公平染色阈值公式的已发表证明，纠正并完善了陈和吴先前未发表的工作。
• 提出了一种高效的线性时间算法来计算 $ \chi_{=}^{*}(G) $，其时间复杂度与顶点总数 $ |V(G)| $ 成线性关系。
• 该算法通过迭代增加 $ h $ 从 1 开始，直到满足停止条件：$ h $ 不整除至少两个 $ n_i $，或对某个 $ i $ 满足 $ n_i/(h+1) > \lfloor n_i/h \rfloor $，从而确保正确性。
• 该阈值为最小：不存在使用少于 $ \sum_{i=1}^l \lceil n_i / h \rceil $ 种颜色的公平染色，该结论通过反证法并利用 $ q $-分拆的性质得以证明。
• 对于 $ r $-部图且各部分大小均为 $ n $ 的特殊情况，阈值为 $ r \lceil n / s^* \rceil $，其中 $ s^* $ 是不整除 $ n $ 的最小正整数，与林的结果一致。