[论文解读] Equivalence and Isomorphism for Boolean Constraint Satisfaction

E. Boehler, Edith Hemaspaandra+2 more|ArXiv.org|Feb 25, 2002

Constraint Satisfaction and Optimization参考文献 12被引用 16

一句话总结

本文建立了布尔约束满足问题中等价性与同构性问题的二分定理。它证明了对于任意有限的布尔函数集合 𝒞，判断两个约束满足实例是否等价的问题，要么是多项式时间可解的（若 𝒞 是 Schaefer 类），要么是 coNP-完全的（否则），并给出了一个简单的判别准则来区分这两种情况。当等价性问题为 coNP-完全时，同构性问题为 coNP-难；否则，同构性问题可多项式时间多对一归约至图同构问题。

ABSTRACT

A Boolean constraint satisfaction instance is a conjunction of constraint applications, where the allowed constraints are drawn from a fixed set B of Boolean functions. We consider the problem of determining whether two given constraint satisfaction instances are equivalent and prove a Dichotomy Theorem by showing that for all sets C of allowed constraints, this problem is either polynomial-time solvable or coNP-complete, and we give a simple criterion to determine which case holds. A more general problem addressed in this paper is the isomorphism problem, the problem of determining whether there exists a renaming of the variables that makes two given constraint satisfaction instances equivalent in the above sense. We prove that this problem is coNP-hard if the corresponding equivalence problem is coNP-hard, and polynomial-time many-one reducible to the graph isomorphism problem in all other cases.

研究动机与目标

• 对布尔约束满足实例之间等价性的计算复杂度进行分类。
• 分析布尔约束满足实例的同构性问题，特别是其与图同构的关系。
• 将 Schaefer 的二分定理扩展至约束满足中的等价性与同构性问题。
• 基于约束语言 𝒞 的性质，提供等价性复杂度的完整且可构造的分类。
• 建立等价性问题与约束系统中最小化问题之间的联系。

提出的方法

• 将等价性问题 EQUIV(𝒞) 定义为：判断在固定有限集合 𝒞 的布尔函数上，两个约束应用集合是否逻辑等价。
• 通过将等价性问题归约为真值表查询的蕴含检查，证明 EQUIV(𝒞) 属于 coNP。
• 以 Schaefer 对可满足性约束语言的分类（Horn、反 Horn、仿射、双文字）作为可解性的关键判据。
• 证明：若 𝒞 是 Schaefer 类（即在某些闭包性质下封闭），则 EQUIV(𝒞) 属于 P，可通过归约至已知属于 P 的 CSPc(𝒞) 问题。
• 通过从非可满足性问题归约，证明非 Schaefer 类 𝒞 的 coNP-难性，利用非可满足性等价于与常数 0 的等价性这一事实。
• 通过分析同构性问题，证明当 EQUIV(𝒞) 为 coNP-难时，同构性问题也为 coNP-难；否则，其可归约至图同构问题。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于哪些有限布尔函数集合 𝒞，约束满足实例的等价性问题可在多项式时间内求解？
• RQ2 布尔约束满足实例的同构性问题的计算复杂度如何？其与图同构问题有何关系？
• RQ3 等价性问题能否通过类似 Schaefer 对可满足性问题的二分定理进行分类？
• RQ4 约束中常数的存在如何影响等价性与同构性问题的复杂度？
• RQ5 等价性问题与约束系统中最小化问题之间存在何种关系？

主要发现

• 当且仅当 𝒞 是 Schaefer 类（即在 Horn、反 Horn、仿射或双文字闭包性质下封闭）时，等价性问题 EQUIV(𝒞) 属于 P。
• 若 𝒞 不是 Schaefer 类，则 EQUIV(𝒞) 为 coNP-完全，该结论通过从非可满足性问题归约得出。
• 含常数的等价性问题 EQUIVc(𝒞) 在 𝒞 为 Schaefer 类时属于 P，否则为 coNP-完全。
• 当 EQUIV(𝒞) 为 coNP-难时，布尔约束满足实例的同构性问题为 coNP-难。
• 在所有其他情况下（即当 EQUIV(𝒞) 属于 P 时），同构性问题可多项式时间多对一归约至图同构问题。
• 本文提供了简单且可判定的判别准则，基于 𝒞 的闭包性质，以确定 EQUIV(𝒞) 是否可解或不可解。