[论文解读] Equivalence groupoid of a class of general Burgers-Korteweg-de Vries equations with space-dependent coefficients

Stanislav Opanasenko|arXiv (Cornell University)|Aug 30, 2019

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 9被引用 4

一句话总结

本文对具有空间依赖系数的一类广义Burgers–Korteweg–de Vries方程的容许变换和等价群进行了分类。结果表明，约化后的方程类具有四维的通常等价群，并识别出若干类具有最大非平凡条件等价群的子类，包括广义意义下新的可归约性示例。

ABSTRACT

We describe the equivalence groupoid of the class of general Burgers - Korteweg - de Vries equations with space-dependent coefficients. This class is shown to reduce by a family of equivalence transformations to a subclass whose usual equivalence group is four-dimensional. Classified are admissible transformations of this subclass and singled out are its subclasses admitting maximal nontrivial conditional equivalence groups. All of them turn out to have dimension higher than four. In particular, a few new examples of nontrivial cases of normalization in the generalized sense of classes of differential equations appeared this way.

研究动机与目标

• 分析具有空间依赖系数的一类广义Burgers–Korteweg–de Vries方程的等价群胚。
• 将该类方程约化为具有四维通常等价群的可归约子类。
• 对容许变换进行分类，并识别出具有最大非平凡条件等价群的子类。
• 在微分方程类中发现广义意义下新的可归约性示例。
• 通过通常等价群和可归约子类的广义等价群，建立等价群胚的结构。

提出的方法

• 本文将原始方程类约化为满足 $ C=1 $ 且 $ A^1=0 $ 的子类，记为 $ \tilde{\rho} $，并证明该子类具有四维的通常等价群。
• 对约化类 $ \tilde{\rho} $ 内的容许变换进行分类，识别出具有增强对称结构的特定子类。
• 通过点变换和等价变换分析，确定条件等价群，特别关注广义等价群和有效广义等价群。
• 本文构造了将 $ \tilde{\rho} $ 中的方程映射到具有幂函数、对数函数、指数函数和有理函数系数结构的可归约子类的显式等价变换形式。
• 利用有效广义等价群的概念，识别出可归约子类的最大非平凡条件等价子群。
• 约化类的等价群胚由其通常等价群和所识别出的可归约子类的等价群生成。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有空间依赖系数的广义Burgers–Korteweg–de Vries方程类的等价群胚具有怎样的结构？
• RQ2 约化方程类的哪些子类具有最大非平凡条件等价群？
• RQ3 在此类方程中能否发现广义意义下新的可归约性示例？
• RQ4 等价变换如何将约化类中的方程映射到具有增强对称性的子类？
• RQ5 通常等价群在生成约化类的完整等价群胚中起什么作用？

主要发现

• 约化类 $ \tilde{\rho} $ 的通常等价群是四维的。
• 约化类 $ \tilde{\rho} $ 的等价群胚由其通常等价群和七个可归约子类的等价群生成：$ \tilde{\rho}_{\text{I},1} $, $ \tilde{\rho}_{\text{I},01} $, $ \tilde{\rho}_{\text{I},00} $, $ \tilde{\rho}_{\text{II},1} $, $ \tilde{\rho}_{\text{III}} $, $ \tilde{\rho}_{\text{IV},1} $, $ \tilde{\rho}_{\text{IV},0}^{r>2} $, 以及 $ \tilde{\rho}_{\text{IV},0}^{r=2} $。
• 除 $ \tilde{\rho}_{\text{II},0} $ 外的所有子类均在广义意义下可归约，其有效广义等价群即为最大条件等价群。
• 子类 $ \tilde{\rho}_{\text{II},0} $ 在通常意义下可归约，其通常等价群为四维。
• 补子类 $ \tilde{\rho}_0 $（定义为上述子类之外所有方程的并集）在通常意义下可归约，其等价群有显式描述。
• 推导出显式点变换，将 $ \tilde{\rho}_{\text{IV},00}^{r=2} $ 中的方程映射到 $ \tilde{\rho}_{\text{IV},0}^{r=2} $，其形式涉及函数 $ P^1, P^2, R^1, R^2 $，且满足参数条件 $ c_4\neq 0 $, $ \rho \neq 0 $, 以及 $ P^2_{\bar{t}} > 0 $。