[论文解读] Equivalence of Cauchy-Riemann manifolds and multisummability theory

Ilya Kossovskiy, Bernhard Lamel+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 15, 2016

Holomorphic and Operator Theory参考文献 39被引用 4

一句话总结

该论文通过应用动力系统中的多阶求和理论，建立了C²中实解析、Levi-非平坦超曲面之间形式与光滑CR-等价的等价性。证明了此类超曲面之间任意形式的全纯双射映射都是收敛的，从而解决了N. Mir（2016年）提出的长期悬而未决的猜想：C²中实代数、Levi-非平坦超曲面之间的所有形式等价都是代数且收敛的。

ABSTRACT

We prove that if two real-analytic hypersurfaces in $\mathbb C^2$ are equivalent formally, then they are also $C^\infty$ CR-equivalent at the respective point. As a corollary, we prove that all formal equivalences between real-algebraic Levi-nonflat hypersurfaces in $\mathbb C^2$ are algebraic (in particular are convergent). The result is obtained by using the recent {\em CR - DS technique}, connecting degenerate CR-manifolds and Dynamical Systems, and employing subsequently the {\em multisummability theory} of divergent power series used in the Dynamical Systems theory.

研究动机与目标

• 解决N. Mir（2016年）的猜想：C²中实代数、Levi-非平坦超曲面之间的形式全纯双射映射是收敛的。
• 建立C²中实解析超曲面之间形式CR-等价与C∞光滑CR-等价的等价性。
• 通过动力系统中的多阶求和技术，实现形式全纯双射的几何实现。
• 利用参数空间中的爆破方法，将k-非退化性和纯阶理论推广至非k-非退化、非极小超曲面。
• 证明此类超曲面之间的形式映射满足一个ODE系统，该系统保证了可求和性与收敛性。

提出的方法

• 将多阶求和理论应用于由实解析超曲面之间的CR-映射产生的形式幂级数。
• 利用塞格雷流形及其参数化族来刻画非极小超曲面的几何结构。
• 在塞格雷流形的参数空间中引入爆破变换，将系统转化为适合ODE分析的形式。
• 从变换后的塞格雷族中导出一个常微分方程（ODE）系统，其结构与k-非退化情形中的系统类似。
• 利用具有特定Jet阶约束的CR-映射（F, G）的分解性质，将一般情形约化至k-非退化情形。
• 利用纯阶在全纯坐标变换下的不变性，对定义方程进行标准化，确保ODE系统中的非退化性。

实验结果

研究问题

• RQ1 C²中实解析、Levi-非平坦超曲面之间的所有形式CR-等价是否都是收敛的？
• RQ2 C²中实代数、Levi-非平坦超曲面之间的形式全纯双射映射能否被实现为光滑CR-微分同胚的泰勒级数？
• RQ3 动力系统中的多阶求和理论是否能为非k-非退化、非极小情形下的形式CR-映射提供几何实现？
• RQ4 非极小超曲面的纯阶如何影响其关联ODE系统的结构？
• RQ5 能否通过对非极小超曲面的塞格雷族进行爆破变换，得到一个具有可求和解的ODE系统？

主要发现

• C²中实解析、Levi-非平坦超曲面之间的任意形式CR-等价均由C∞光滑CR-微分同胚实现，从而证明了N. Mir（2016年）的猜想。
• 作为主定理的推论，C²中实代数、Levi-非平坦超曲面之间的所有形式等价都是代数且收敛的。
• 非极小超曲面在原点的纯阶p决定了形式映射（F, G）中导数Gz的零点阶数，具体为Gz = O(wp+1)。
• 在塞格雷流形参数空间中进行适当爆破后，变换后的族满足一个与k-非退化情形结构相同的ODE系统，其中m被替换为p+1。
• 形式映射（F, G）满足分解形式（F, G）=（F, G），其中Fz(0,0) ≠ 0，Gw(0,0) ≠ 0，且Gz = O(wp+1)，从而可将一般情形约化至k-非退化情形。
• 从塞格雷族导出的ODE系统确保了映射的形式幂级数是多阶可求和的，因此是收敛的，从而完成了光滑实现的证明。