[论文解读] Equivalence of inverse problems for 2D elasticity and for the thin plate with finite measurements and its applications

Hyeonbae Kang, Graeme W. Milton+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 17, 2012

Numerical methods in inverse problems参考文献 10被引用 4

一句话总结

本文建立了二维线性弹性力学与有限边界测量下薄板弯曲问题之间严格的数学等价性。通过证明弹性力学（位移与牵引力）与薄板理论（挠度与弯矩）边界数据之间的显式可逆关系，作者表明求解其中一一体系的逆问题等价于求解另一一体系的对应问题，从而可在各框架间转移诸如体积分数界限与包含体尺寸估计等结果，即使对于各向异性和空间变化的材料亦成立。

ABSTRACT

In this paper, we prove that the inverse problems for 2D elasticity and for the thin plate with boundary data (finite or full measurements) are equivalent. Having proved this equivalence, we can solve inverse problems for the plate equation with boundary data by solving the corresponding inverse problems for 2D elasticity, and vice versa. For example, we can derive bounds on the volume fraction of the two-phase thin plate from the knowledge of one pair of boundary measurements using the known result for 2D elasticity \cite{ml}. Similarly, we give another approach to the size estimate problem for the thin plate studied by Morassi, Rosset, and Vessella \cite{mrv07, mrv09}.

研究动机与目标

• 建立二维线性弹性力学与有限边界测量下薄板弯曲问题之间精确的数学等价性。
• 推导出两套系统边界数据之间的显式可逆关系：弹性力学的位移与牵引力，以及薄板的挠度、法向导数与弯矩/扭力矩。
• 证明诸如体积分数估计与包含体尺寸检测等逆问题在两套模型之间等价，从而实现已知结果的转移。
• 通过已建立的等价性，将现有逆问题结果框架（特别是关于尺寸估计与材料体积分数界限的结果）扩展至薄板模型。
• 通过利用另一套系统的成果，为各向异性和非均匀介质中逆问题的求解提供理论基础。

提出的方法

• 推导出将二维弹性力学边界上的位移场与牵引力矢量映射到薄板边界上挠度、法向导数与弯矩/扭力矩的显式公式。
• 基于单连通区域中二维弹性方程与薄板方程之间的已知等价性，结合胡克定律与基尔霍夫-洛夫板理论进行推导。
• 在所导出的边界数据对应关系下，证明二维弹性力学的狄利克雷-诺伊曼映射与薄板方程的诺伊曼-狄利克雷映射互为对应，反之亦然。
• 将等价性应用于结果转移：将米尔顿与阮（2012）关于二维弹性力学的体积分数界限结果，转移至薄板模型。
• 利用等价性，通过二维弹性力学中已知的逆问题解法，重新推导出薄板中包含体的尺寸估计结果（Alessandrini, Morassi, Rosset, 2008）。
• 通过将薄板的弹性张量用底层弹性模型的柔度张量表示，将框架扩展至各向异性和非均匀介质，并验证两套系统中三球不等式所需的“二分性条件”在等价条件下同时成立。

实验结果

研究问题

• RQ1 在有限边界测量条件下，薄板方程的逆问题能否被约化为等价的二维线性弹性力学逆问题？
• RQ2 二维弹性力学（位移与牵引力）与薄板（挠度、法向导数、弯矩与扭力矩）边界数据之间存在何种显式数学关系？
• RQ3 该两套逆问题之间的等价性是否在两套系统中均适用于各向异性和空间变化的材料属性？
• RQ4 能否通过该等价性，将二维弹性力学中关于体积分数估计的已知结果直接应用于薄板模型？
• RQ5 能否利用二维弹性力学中已知的等价结果，重新推导出薄板中包含体的尺寸估计结果，特别是在三球不等式框架下？

主要发现

• 在有限边界测量条件下，薄板方程的逆问题与二维线性弹性力学的逆问题在数学上等价。
• 建立了边界数据之间的显式可逆关系：二维弹性力学中的位移与牵引力可唯一确定薄板的挠度、法向导数与弯矩，反之亦然。
• 通过本文建立的等价性，可从米尔顿与阮（2012）关于二维弹性力学的已知结果，推导出两相薄板的体积分数界限。
• 由Morassi, Rosset与Vessella研究的薄板中包含体的尺寸估计问题，与二维弹性力学中的同一问题等价，而后者已由Alessandrini, Morassi与Rosset（2008）解决，后续在（2009）中进行了修正。
• 对于各向异性和非均匀介质，若对应薄板模型满足等价条件，则可在单一边界测量下，基于二分性条件估计二维弹性力学中未知包含体的尺寸。
• 支撑[9]中尺寸估计的薄板方程三球不等式，通过所导出的数据对应关系，被证明与二维弹性力学中的三球不等式等价，从而保持了饱满性假设的有效性及由此产生的定量估计。