[论文解读] Equivalence of Liouville measure and Gaussian free field

Nathanaël Berestycki, Scott Sheffield⋆+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 20, 2014

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 32被引用 21

一句话总结

本文证明了高斯自由场（GFF）即使在测度集中在分形集上的情况下，仍可通过其关联的里夫利乌量子重力测度可测地确定。通过新颖的高斯乘性混沌矩界，作者证明了在闭集上受限的GFF可由该集上的弗罗斯特曼测度恢复，从而推广至SLE曲线和里夫利乌布朗运动轨迹等情形。

ABSTRACT

Given an instance $h$ of the Gaussian free field on a planar domain $D$ and a constant $γ\in (0,2)$, one can use various regularization procedures to make sense of the Liouville quantum gravity area measure $μ:= e^{γh(z)} dz.$ It is known that the field $h$ a.s. determines the measure $μ_h$. We show that the converse is true: namely, $h$ is measurably determined by $μ_h$. More generally, given a random closed fractal subset $\mathcal A$ endowed with a Frostman measure $σ$ whose support is $\mathcal A$ (independent of $h$), a Gaussian multiplicative chaos measure $μ_{σ,h}$ can be constructed. We give a mild condition on $(\mathcal A,σ)$ under which $μ_{σ,h}$ determines $h$ restricted to $\mathcal A$, in the sense that it determines its harmonic extension off $\mathcal A$. Our condition is satisfied by the occupation measures of planar Brownian motion and SLE curves under natural parametrizations. Along the way we obtain general positive moment bounds for Gaussian multiplicative chaos. Contrary to previous results, this does not require any assumption on the underlying measure $σ$ such as scale invariance, and hence may be of independent interest.

研究动机与目标

• 建立高斯自由场（GFF）可由其关联的里夫利乌量子重力（LQG）面积测度可测恢复。
• 将此恢复结果推广至任意闭合分形集并配备弗罗斯特曼测度的情形，超越勒贝格测度情形。
• 在不依赖底层测度的标度不变性或其他限制性假设的前提下，为分形集上的高斯乘性混沌提供矩界。
• 证明SLE曲线或里夫利乌布朗运动轨迹上的GFF由相应的量子测度确定。
• 在较弱的几何条件下，证明GFF在测度支集外的调和延拓完全由测度决定。

提出的方法

• 在闭集 $\mathcal{A}$ 上构造高斯乘性混沌测度 $\mu_{\sigma,h} = e^{\gamma h} d\sigma$，其中 $\sigma$ 为弗罗斯特曼测度，$h$ 为与 $\sigma$ 独立的GFF。
• 对 $(\mathcal{A}, \sigma)$ 施加一个温和的几何条件——即 $\mathcal{A}$ 满足某种正则性性质（Q），其指数为 $q$——以确保 $h$ 可由 $\mu_{\sigma,h}$ 恢复。
• 通过GFF的递归分解与方差估计，推导 $\mu_{\sigma,h}$ 的正负矩界，避免使用如标度不变性等假设。
• 应用柯西-施瓦茨不等式与能量估计，控制正则化场增量的方差，从而在关键项上获得 $o_\varepsilon(1)$ 的界。
• 利用 $h$ 在 $\mathcal{A}$ 外的调和延拓由其边界值唯一确定的事实，并证明 $\mu_{\sigma,h}$ 可可测地确定这些边界值。
• 将结果应用于具体情形：SLE曲线与里夫利乌布朗运动，证明其量子参数化可确定其轨迹上的GFF。

实验结果

研究问题

• RQ1 高斯自由场 $h$ 能否由其关联的里夫利乌测度 $\mu_h = e^{\gamma h} dz$ 可测地恢复？
• RQ2 在何种条件下，对于闭合分形集 $\mathcal{A}$ 及其上的弗罗斯特曼测度 $\sigma$，GFF $h$ 可由测度 $\mu_{\sigma,h} = e^{\gamma h} d\sigma$ 确定？
• RQ3 在不假设测度标度不变性或自相似性的情况下，可为分形集上的高斯乘性混沌建立何种矩界？
• RQ4 SLE曲线的量子长度或里夫利乌布朗运动的轨迹是否可确定其轨迹上的GFF？
• RQ5 在测度 $\sigma$ 支集外的GFF调和延拓是否可测地由 $\mu_{\sigma,h}$ 确定？

主要发现

• 在勒贝格情形下，GFF $h$ 可由其里夫利乌测度 $\mu_h$ 可测地确定，即 $h$ 是 $\mu_h$ 的可测函数。
• 对于满足（Q）条件（指数为 $q$）的任意闭集 $\mathcal{A}$ 及其上的弗罗斯特曼测度 $\sigma$，限制在 $\mathcal{A}$ 上的GFF 可由 $\mu_{\sigma,h}$ 可测地恢复。
• 在 $\mathcal{A}$ 外的 $h$ 的调和延拓由 $\mu_{\sigma,h}$ 确定，这意味着GFF可完全恢复至调和函数的等价类。
• 所获得的 $\mu_{\sigma,h}$ 的矩界不依赖于 $\sigma$ 的标度不变性或自相似性，因而具有广泛适用性。
• 在自然参数化下，SLE曲线的量子长度可确定其轨迹上的GFF；同样，里夫利乌布朗运动在任意时间 $t$ 的轨迹也可确定其路径上的GFF。
• 在全平面及无限时间情形下，里夫利乌布朗运动的轨迹是稠密的，因此其路径可完全恢复整个GFF。