[论文解读] Equivalence of local-and global-best approximations, a simple stable local commuting projector, and optimal $hp$ approximation estimates in $H(\mathrm{div})$

Alexandre Ern, Thirupathi Gudi+2 more|arXiv (Cornell University)|Aug 22, 2019

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 39被引用 6

一句话总结

本论文建立了Raviart–Thomas–Nédélec有限元在$\bm{H}(\operatorname{div})$空间中局部最佳逼近与全局最佳逼近之间的等价性，证明了全局误差界与局部误差之和等价，其中常数仅依赖于网格形状和多项式次数，与$h$和$p$无关。论文提出了一种稳定、局部且可交换的投影算子，即使在函数正则性最低的情况下，也能实现最优$hp$逼近估计。

ABSTRACT

Given an arbitrary function in H(div), we show that the error attained by the global-best approximation by H(div)-conforming piecewise polynomial Raviart-Thomas-Nédélec elements under additional constraints on the divergence and normal flux on the boundary, is, up to a generic constant, equivalent to the sum of independent local-best approximation errors over individual mesh elements, without constraints on the divergence or normal fluxes. The generic constant only depends on the shape-regularity of the underlying simplicial mesh, the space dimension, and the polynomial degree of the approximations. The analysis also gives rise to a stable, local, commuting projector in H(div), delivering an approximation error that is equivalent to the local-best approximation. We next present a variant of the equivalence result, where robustness of the constant with respect to the polynomial degree is attained for unbalanced approximations. These two results together further enable us to derive rates of convergence of global-best approximations that are fully optimal in both the mesh size h and the polynomial degree p, for vector fields that only feature elementwise the minimal necessary Sobolev regularity. We finally show how to apply our findings to derive optimal a priori hp-error estimates for mixed and least-squares finite element methods applied to a model diffusion problem.

研究动机与目标

• 在最小正则性假设下，建立$\bm{H}(\operatorname{div})$中全局最佳逼近与局部最佳逼近之间的等价性。
• 构造一个在$\bm{H}(\operatorname{div})$中稳定、局部且可交换的投影算子，以保持最优逼近性质。
• 针对仅具有单元内最小Sobolev正则性的函数，推导出$\bm{H}(\operatorname{div})$中完全最优的$hp$逼近估计。
• 将分析扩展至非平衡逼近情形，确保对多项式次数$p$的鲁棒性。
• 将结果应用于混合元法和最小二乘法有限元方法，获得模型扩散问题的最优先验$hp$误差估计。

提出的方法

• 通过在单元边界上约束散度和法向通量，证明$\bm{H}(\operatorname{div})$中全局最佳逼近与局部最佳逼近的等价性，表明误差等价性常数仅依赖于形状正则性、空间维数和多项式次数。
• 通过在每个单元上进行约束最小化，构造一个局部、稳定、可交换的投影算子，确保该算子与散度算子可交换，并保持散度的$\bm{L}^2$-范数。
• 利用Costabel和McIntosh的工作推导出单纯形上局部逼近的$p$-鲁棒等价性结果，从而在局部消除散度约束而不损失最优性。
• 在形状正则性和最小正则性条件下，证明全局最佳逼近误差被局部误差之和所控制，且常数与$h$和$p$无关。
• 通过结合局部等价性与投影算子的稳定性和逼近性质，推导出最优$hp$-误差估计。
• 将该框架应用于混合元法和最小二乘法有限元方法，表明所得误差界在$h$和$p$上均为完全最优。

实验结果

研究问题

• RQ1 在$\bm{H}(\operatorname{div})$中，全局最佳逼近误差是否与局部最佳逼近误差之和等价，其中常数与$h$和$p$无关？
• RQ2 能否在$\bm{H}(\operatorname{div})$中构造一个稳定、局部且可交换的投影算子，以实现最优$hp$逼近性质？
• RQ3 当多项式次数$p$变化时，局部与全局最佳逼近之间的等价性是否依然稳健，特别是在非平衡逼近设置下？
• RQ4 能否在最小正则性假设下，为混合元法和最小二乘法有限元方法推导出最优$hp$-误差估计？
• RQ5 在全局逼近中，散度和法向通量约束的作用是什么？能否在局部消除这些约束而不影响全局误差界？

主要发现

• 在$\bm{H}(\operatorname{div})$中，全局最佳逼近误差与局部最佳逼近误差之和等价，常数仅依赖于网格的形状正则性、空间维数和多项式次数。
• 构造了一个稳定、局部且可交换的投影算子，其逼近误差等价于局部最佳逼近，从而实现了最优$hp$估计。
• 该等价性结果被推广至非平衡逼近情形，确保常数对$p$的鲁棒性，这对高阶方法至关重要。
• 针对仅具有最小$H(\operatorname{div})$正则性的函数，推导出完全最优的$hp$逼近估计，实现了$h$和$p$方向的完全最优性。
• 该框架为应用于模型扩散问题的混合元法和最小二乘法有限元方法，提供了完全最优的先验$hp$误差估计。
• 分析结果表明，散度的$\bm{L}^2$-范数和向量场的$\bm{L}^2$-范数均可由局部最佳逼近误差控制，且控制系数显式依赖于形状正则性参数。