[论文解读] Equivalence of plurisubharmonic singularities and Siu-type metrics

Dano Kim|arXiv (Cornell University)|Jul 24, 2014

Geometry and complex manifolds参考文献 16被引用 4

一句话总结

本文证明了，即使倍乘理想层一致，一个 plurisubharmonic 函数的奇点类型也无法仅由其 Lelong 数唯一确定。它在 section ring 非有限生成的大线丛上构造了一个无限族 Siu 型奇异 Hermitian 度量，这些度量具有相同的倍乘理想层和 Lelong 数，但两两之间奇点不等价，从而证明了在解析情形之外奇点唯一性不成立。

ABSTRACT

We show by an example that the (equivalence class of) singularity of a plurisubharmonic function cannot be determined by the data of its Lelong numbers, in a nontrivial sense. Such an example is provided by Siu-type singular hermitian metrics associated to an effective line bundle. We also show that a Siu-type metric has analytic singularities if and only if the section ring of the line bundle is finitely generated.

研究动机与目标

• 研究一个 plurisubharmonic 函数的奇点类型是否仅由其 Lelong 数决定。
• 考察线丛 section ring 的有限生成性与 Siu 型度量的解析性之间的关系。
• 构造显式反例，表明具有等价倍乘理想层和相同 Lelong 数的度量并不一定具有等价奇点。
• 澄清 Siu 型度量具有解析奇点的条件，特别是与 section ring 的有限生成性之间的关系。

提出的方法

• 在 Q-有效线丛上使用 Siu 型奇异 Hermitian 度量构造一个非平凡全局例子。
• 利用 Guan 和 Zhou 的强开性定理，在 Demailly 近似下使倍乘理想层相等。
• 应用 Boucksom-Favre-Jonsson 的 (B-1) 与 (B-2) 等价性以及强开性定理来比较奇点。
• 使用 log-分解和 Demailly 近似序列分析在正规化变换上的奇点。
• 通过反证法并对比最小度量，证明若一个 Siu 型度量具有解析奇点，则其 section ring 必须是有限生成的。
• 利用包含链 $\mathcal{J}(h_{\min}^m) \subset \mathcal{J}(h_{ \text{Siu},i}^m) \subset \mathcal{J}(h_{\min}^m)$ 和开性定理，推导出理想相等。

实验结果

研究问题

• RQ1 一个 plurisubharmonic 函数的奇点类型能否由其 Lelong 数唯一确定？
• RQ2 具有相同倍乘理想层和 Lelong 数的 Siu 型度量是否必然在奇点上等价？
• RQ3 线丛 section ring 的有限生成性与 Siu 型度量的解析性之间存在何种精确关系？
• RQ4 能否构造一个无限族具有相同倍乘理想层和 Lelong 数但两两不等价的 Siu 型度量？
• RQ5 在何种条件下，Siu 型度量不具有解析奇点？

主要发现

• 在 section ring 非有限生成的大线丛上，存在一个 Siu 型度量的无限族 $\{e^{-\varphi_i}\}_{i \in I}$，使得对所有 $m > 0$ 和所有 $j \neq k$，有 $\mathcal{J}(m\varphi_j) = \mathcal{J}(m\varphi_k)$，但 $\varphi_j$ 与 $\varphi_k$ 在奇点上不等价。
• Siu 型度量具有解析奇点，当且仅当其底层线丛的 section ring 是有限生成的。
• 即使所有其他不变量一致，倍乘理想层 $\mathcal{J}(mu) = \mathcal{J}(mv)$ 和在所有正规化变换上匹配的 Lelong 数，也不能推出奇点等价。
• 伪有效线丛的最小度量 $\varphi_D$ 满足 $\varphi_D \preceq \varphi_{\text{Siu},i}$，且 $\varphi_{\text{Siu},i} \sim \varphi_D$ 成立当且仅当 section ring 是有限生成的。
• 当 section ring 非有限生成时，Siu 型度量具有非解析奇点，从而提供了具有此类行为的 plurisubharmonic 函数的新例子。
• 定理 4.3 的证明表明，若 $u$ 具有解析奇点，且 $u$ 与 $v$ 在所有正规化变换上具有相同的 Lelong 数，则 $u \preceq v$，这是确立推论 4.4 中等价条件的关键。