[论文解读] Equivalence of Statistical Mechanical Ensembles for Non-Critical Quantum Systems

Fernando G. S. L. Brandão, M. Cramer|arXiv (Cornell University)|Feb 11, 2015

Quantum many-body systems参考文献 29被引用 31

一句话总结

该论文建立了在具有短程相互作用的 d 维晶格上非临界量子多体系统中，正则系综与微正则系综的局域等价性。利用量子信息理论版本的 Berry–Esseen 定理，证明了对于任意相关长度有限的温度，当区域大小达到 O(N^{1/(d+1)}) 时，两个系综对可观测量的预测近似相等，且迹距离以 O(1/√N) 的速率衰减。

ABSTRACT

We consider the problem of whether the canonical and microcanonical ensembles are locally equivalent for short-ranged quantum Hamiltonians of $N$ spins arranged on a $d$-dimensional lattices. For any temperature for which the system has a finite correlation length, we prove that the canonical and microcanonical state are approximately equal on regions containing up to $O(N^{1/(d+1)})$ spins. The proof rests on a variant of the Berry--Esseen theorem for quantum lattice systems and ideas from quantum information theory.

研究动机与目标

• 建立正则系综与微正则系综在量子多体系统中实现局域等价的条件。
• 阐明有限相关长度与短程相互作用在确保系综等价性中的作用。
• 提供一种严格的、基于信息理论的系综等价性证明，且不依赖于弱耦合假设。
• 量化两个系综可提供近似相等预测的子系统大小。
• 利用量子信息工具，将经典统计力学的结果推广至量子系统。

提出的方法

• 使用具有有界局部项的 d 维晶格上的 k 局部哈密顿量形式化问题。
• 将正则态 ρ_T 定义为吉布斯态 e^{-H/T}/Z(T)，将微正则态 τ_{e,δ} 定义为在窄能级窗口内能量本征态的均匀叠加。
• 引入 (ξ,z)-指数衰减相关性条件，以表征正则态中的有限相关长度。
• 应用量子版本的 Berry–Esseen 定理，以有界两个系综约化态之间的迹距离。
• 使用量子信息技术，包括纯化和基于 Uhlmann–Jozsa 不等式的迹距离界。
• 推导出一个定量界 Δ_{k,ξ,z,T}，用于控制在子系统大小 l ≤ O(N^{1/(d+1)}) 时，正则态与微正则态之间的迹距离。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，正则系综与微正则系综对量子多体系统实现局域等价？
• RQ2 子系统最大可多大，使得正则系综与微正则系综的约化态近似相等？
• RQ3 是否可以在不假设系统与环境之间弱耦合的前提下证明系综等价性？
• RQ4 有限相关长度在确保系综等价性中起什么作用？
• RQ5 两个系综之间的迹距离如何随系统大小和温度变化？

主要发现

• 对于任意具有有限相关长度的温度 T，正则态与微正则态在大小达 O(N^{1/(d+1)}) 的区域上实现局域等价。
• 在这些区域上，正则系综与微正则系综约化态之间的迹距离受 Δ_{k,ξ,z,T} 控制，该界在典型条件下以 O(1/√N) 的速率衰减。
• 该等价性对所有具有有界相互作用和有限相关长度的 k 局部哈密顿量均成立，且与临界性无关。
• 该证明建立了依赖于系统温度、比热、相关长度和局域尺度的系综等价性定量界。
• 即使系统与环境的耦合较强，该结果依然成立，因此推广了弱耦合推导的结论。
• 该分析证实，当全局态具有有限相关长度时，封闭量子系统中小子系统的热化行为与微正则预测一致。