[论文解读] Equivalence of the Brownian and energy representations

Sergio Albeverio, Bruce K. Driver+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 23, 2015

advanced mathematical theories被引用 3

一句话总结

本文建立了紧李群上光滑路径群的布朗运动表示与能量表示之间的酉等价性。通过随机分析与傅里叶-维纳变换，证明了这两种表示——分别定义在具有维纳测度的维纳空间和具有高斯测度的路径空间上——通过一个交织算子实现酉等价，从而解决了长期存在的关于常数函数在这些表示中是否为循环向量的问题。

ABSTRACT

We consider two unitary representations of the infinite-dimensional groups of smooth paths with values in a compact Lie group. The first representation is induced by quasi-invariance of the Wiener measure, and the second representation is the energy representation. We define these representations and their basic properties, and then we prove that these representations are unitarily equivalent.

研究动机与目标

• 建立由维纳测度的准不变性诱导的布朗运动表示与路径空间上能量表示之间的酉等价性。
• 解决常数函数 1 是否为布朗运动表示与能量表示的循环向量的问题。
• 通过李群值路径上的伊藤积分与斯特拉托诺维奇积分，严格构造能量表示。
• 证明能量表示通过逆伊藤映射与傅里叶-维纳变换，与左布朗运动表示和右布朗运动表示均实现酉等价。
• 统一无限维路径群的酉表示的两种不同方法：随机过程方法与基于能量的构造方法。

提出的方法

• 布朗运动表示在 $ L^2(W(G), \mu) $ 上构造，其中 $ \mu $ 是紧李群 $ G $ 上连续路径的维纳测度，利用 $ H(G) $（即 $ G $ 上光滑路径群）左乘与右乘下的准不变性。
• 能量表示定义在 $ L^2(W(\mathfrak{g}), \nu) $ 上，其中 $ \mathfrak{g} $ 是 $ G $ 的李代数，$ \nu $ 是 $ W(\mathfrak{g}) $ 上的标准高斯测度，通过伴随作用与随机积分定义。
• 关键技术工具是逆伊藤映射 $ B^L $，它将布朗运动表示转化为 $ W(\mathfrak{g}) $ 上的形式，从而可与能量表示进行比较。
• 傅里叶-维纳变换 $ \mathcal{F} $ 用作交织算子，将变换后的布朗运动表示与能量表示关联起来。
• 证明依赖于对确定性被积函数，伊藤积分与斯特拉托诺维奇积分相等的事实，确保随机微积分框架的一致性。
• 通过证明由 $ W(G) $ 上右乘诱导的表示 $ u^{R}_{\varphi} $ 与能量表示 $ E_{\varphi} $ 通过复合算子 $ \mathcal{F} \circ (B^L)^* $ 实现酉等价，从而确立酉等价性。

实验结果

研究问题

• RQ1 常数函数 1 是否为 $ L^2(W(G), \mu) $ 上布朗运动表示的循环向量？
• RQ2 由维纳测度的准不变性诱导的布朗运动表示与定义在 $ L^2(W(\mathfrak{g}), \nu) $ 上的能量表示是否酉等价？
• RQ3 能量表示能否通过随机微积分工具（如逆伊藤映射）实现为布朗运动表示的酉变换？
• RQ4 布朗运动表示与能量表示之间的精确交织算子是什么？
• RQ5 逆伊藤映射 $ B^L $ 是否为布朗运动表示空间与能量表示空间之间提供一个典范同构？

主要发现

• 常数函数 1 是 $ L^2(W(G), \mu) $ 上左布朗运动表示与右布朗运动表示的循环向量，如第 3 节所确立。
• 布朗运动表示 $ U^R $ 与能量表示 $ E $ 通过复合算子 $ \mathcal{F} \circ (B^L)^* $ 实现酉等价，如定理 5.8 所证明。
• 能量表示 $ E_{\varphi} $ 由 $ (E_{\varphi}f)(w) = e^{i\int_0^T \langle \varphi^{-1}\varphi'(s), dw_s \rangle} f(O_{\varphi^{-1}}w) $ 给出，其中 $ O_{\varphi^{-1}}w = \int_0^\cdot \operatorname{Ad}_{\varphi} dw_s $，这在 $ L^2(W(\mathfrak{g}), \nu) $ 上定义了一个酉表示。
• 通过逆伊藤映射获得的 $ L^2(W(\mathfrak{g}), \nu) $ 上的表示 $ u^{R}_{\varphi} $ 与能量表示 $ E_{\varphi} $ 实现酉等价，其交织算子为傅里叶-维纳变换 $ \mathcal{F} $。
• 证明依赖于对确定性被积函数，伊藤积分与斯特拉托诺维奇积分相等的事实，确保所用随机微积分框架的一致性。
• 推论 5.9 确认常数函数 1 是能量表示的循环向量，该结论由布朗运动表示中的循环性及已建立的酉等价性推出。