[论文解读] Equivalence of two different notions of tangent bundle on rectifiable metric measure spaces

Nicola Gigli, Enrico Pasqualetto|arXiv (Cornell University)|Nov 29, 2016

Advanced Topology and Set Theory被引用 4

一句话总结

本文建立了可rectifiable度量测度空间上两种切丛概念之间的等距同构：Sobolev分析中的抽象切模与Gromov-Hausdorff切丛的$L^2$截面空间。作者证明，对于强$τ$-rectifiable空间（如${\sf RCD}^*(K,N)$空间），在$τ$-a.e.点处的 pointed-Gromov-Hausdorff 极限为欧几里得切空间，且由此产生的可测截面构成的空间与切模等距同构，从而统一了可微性的几何与分析方法。

ABSTRACT

We prove that for a suitable class of metric measure spaces, the abstract notion of tangent module as defined by the first author can be isometrically identified with the space of $L^2$-sections of the `Gromov-Hausdorff tangent bundle'. The class of spaces $({ m X},{\sf d},{\mathfrak m})$ we consider are PI spaces that for every $\varepsilon>0$ admit a countable collection of Borel sets $(U_i)$ covering ${\mathfrak m}$-a.e.\ ${ m X}$ and corresponding $(1+\varepsilon)$-biLipschitz maps $φ_i:U_i o{\mathbb R}^{k_i}$ such that $(φ_i)_*{\mathfrak m}\lower3pt\hbox{$|_{U_i}$}\ll\mathcal L^{k_i}$. This class is known to contain ${\sf RCD}^*(K,N)$ spaces. Part of the work we carry out is that to give a meaning to notion of $L^2$-sections of the Gromov-Hausdorff tangent bundle, in particular explaining what it means to have a measurable map assigning to ${\mathfrak m}$-a.e.\ $x\in { m X}$ an element of the pointed-Gromov-Hausdorff limit of the blow-up of ${ m X}$ at $x$.

研究动机与目标

• 建立两个不同切丛概念之间的严格联系：Sobolev分析中的抽象切模与几何上的Gromov-Hausdorff切丛。
• 在强$\mathfrak{m}$-rectifiable空间中，利用图册定义Gromov-Hausdorff切丛上的规范可测结构。
• 证明对于$\mathfrak{m}$-a.e. $x \in \rm{X}$，在点$x$处缩放空间的pointed-Gromov-Hausdorff极限为欧几里得空间，从而为切丛提供几何解释。
• 证明Gromov-Hausdorff切丛的$L^2$截面空间与切模$L^2(T\rm{X})$之间存在等距同构。
• 通过使用双Lipschitz图册构造规范可测结构，解决通过任意等距映射识别切空间时的歧义。

提出的方法

• 通过可数个$(1+\varepsilon)$-双Lipschitz图册$\varphi_i: U_i \to \mathbb{R}^{k_i}$引入Gromov-Hausdorff切丛上的可测Banach丛结构。
• 将Gromov-Hausdorff切丛的$L^2$截面定义为可测映射，将$\mathfrak{m}$-a.e. $x \in \rm{X}$ 映射到在点$x$处缩放空间的pointed-Gromov-Hausdorff极限中的元素。
• 利用存在具有紧致定义域和密度点的$\varepsilon_n$-图册，构造序列$r_n \downarrow 0$，使得缩放图册$\Phi_n(x, \cdot)$在Gromov-Hausdorff意义下逼近恒等映射。
• 应用引理1.2控制点与其在图册中投影之间的距离，确保缩放图册$\Phi_n$在小球上一致收敛于等距映射。
• 证明对于$\mathfrak{m}$-a.e. $x$，缩放空间$B_{r_n R}(x)/r_n$在pointed-Gromov-Hausdorff意义下收敛于具有标准欧几里得度量的$\mathbb{R}^k$。
• 通过证明Sobolev函数的微分精确对应于Gromov-Hausdorff切丛的可测截面，建立$L^2(T\rm{X})$与$L^2(T_{\rm{GH}}\rm{X})$之间的等距同构。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过$L^\infty$-模与Sobolev分析定义的抽象切模在几何上实现为Gromov-Hausdorff切丛的截面？
• RQ2 在$\mathfrak{m}$-a.e.点$x$处，缩放空间的pointed-Gromov-Hausdorff极限在何种条件下为欧几里得空间？
• RQ3 如何在避免任意等距识别的前提下，对通过Gromov-Hausdorff极限获得的切空间丛规范地定义可测结构？
• RQ4 是否存在Gromov-Hausdorff切丛的$L^2$截面空间与切模$L^2(T\rm{X})$之间的自然等距同构？
• RQ5 在奇异但可rectifiable的度量测度空间中，弱导数（分析）与blow-up（几何）定义的可微性在多大程度上一致？

主要发现

• 对于$\mathfrak{m}$-a.e. $x \in \rm{X}$，当$r_n \downarrow 0$时，缩放空间$B_{r_n R}(x)/r_n$的pointed-Gromov-Hausdorff极限同构于$\mathbb{R}^k$（某$k$），且极限仅依赖于点$x$处的局部维数。
• Gromov-Hausdorff切丛的$L^2$截面空间，记为$L^2(T_{\rm{GH}}\rm{X})$，定义良好，并可通过双Lipschitz图册获得规范可测结构。
• 存在序列$r_n \downarrow 0$，使得缩放图册$\Phi_n(x, \cdot)$满足：对充分大的$n$，在$B_{r_n R}(x)$上一致有$\big{|}\big{|}\Phi_n(x,y_0) - \Phi_n(x,y_1)\big{|}_{\mathbb{R}^k} - \frac{{\sf d}(y_0,y_1)}{r_n}\big{|} \leq \varepsilon$。
• 缩放图册$\Phi_n(x, \cdot)$的像在球$B_{R-\varepsilon}(0_{\mathbb{R}^k})$中$\varepsilon$-稠密，确保极限捕捉了完整的切空间。
• 切模$L^2(T\rm{X})$与$L^2$截面空间$L^2(T_{\rm{GH}}\rm{X})$之间存在等距同构，同构由Sobolev函数的微分给出。
• 该结果在强可rectifiability假设下推广了Rademacher定理，表明在$\mathfrak{m}$-a.e.点处，分析与几何的可微性概念完全一致。