[论文解读] Equivalence Problem for Non-Linearizable Third-Order ODEs with Four-Dimensional Lie Symmetry Subalgebras under Point Transformations

Omar A. Abuloha, Marwan Aloqeili+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 10, 2026

Nonlinear Waves and Solitons被引用 0

一句话总结

论文使用 Cartan 等价方法为四个分支构建不变量共形基，给出在点变换下具有四维李对称性的非线性可化简三阶常微分方程的完整不变量刻画，以及推导相应点变换的方法和示例。

ABSTRACT

Cartan's equivalence method is applied to explicitly construct invariant coframes for four branches, which are used to characterize all non-linearizable third-order ODEs with a four-dimensional Lie symmetry subalgebra under point transformations. Additionally, we present a method for constructing the point transformations based on the derived invariant coframes. Examples are provided to illustrate our approach.

研究动机与目标

• 在点变换下，激励并对具有四维李对称性子代数的标量三阶 ODE 进行可线性化与否的分类。
• 应用 Cartan 等价方法导出四条分支的不变量共形基。
• 利用不变量共形基及其结构方程刻画所有此类 ODE。
• 提供一种从不变量共形基构造所需点变换的实用程序。

提出的方法

• 将关于 u''' = f(x,u,u',u'') 的等价问题在点变换下通过第二对 jet 空间上的八参数基共形来表述。
• 通过迭代吸收与归一化，按照 Cartan 方法得到具有四个分支的不变量共形基。
• 为每个分支推导显式的结构方程及本质扭矩系数。
• 对扭矩进行归一化，获得共形基的规范化形式以及规范形式的常结构方程。
• 通过不变量共形基的微分关系系统，发展一种从不变量共形基重构点变换的方法。
• 结合具体例子，将给定的非线性 ODE 转换为规范形式以示范该方法。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有四维李对称子代数的点变换下非线性化三阶 ODE 的规范形式是什么？
• RQ2 如何利用 Cartan 等价方法构造刻画这些 ODE 的不变量共形基？
• RQ3 如何系统地从这些分支的不变量共形基导出点变换？
• RQ4 本质扭矩及相对不变量在区分分支与确定规范形式中起什么作用？

主要发现

• 构建了四个不变量共形基（分支），从而实现对所有在点变换下具有四维李对称性的非线性化三阶 ODE 的完全不变量刻画。
• 每个分支给出具有常结构方程的规范形式，对应论文 Table 1 的代表性方程。
• 提供从不变量共形基到显式点变换的系统化流程，包括在某些群参数未被归一化时的情形。
• 示例表明在点变换下与规范形式等价，如 u''' = e^{-u''} 与 u''' = u''^{2} / u' 等等。
• 结果给出明确的不变量关系与归一化条件，用以确定规范形式中的参数（如不变量关系如 T14、T24 的取值等）。