[论文解读] Equivalence Relations Which Are Borel Somewhere

William Chan|arXiv (Cornell University)|Nov 25, 2015

Advanced Topology and Set Theory参考文献 9被引用 3

一句话总结

本文研究了在何种条件下，波兰空间上的解析或共解析等价关系可以被限制到一个 $Δ_1^1$ 集合上，使得限制后的关系成为 $Δ_1^1$ 等价关系。通过在 $̼$-理想的背景下使用力迫和绝对性，作者证明了在假设所有大小为 $(2^{ aleph_0})^+$ 的 $z$ 都满足 $z^lat$ 存在的条件下，这样的 $Δ_1^1$ 集合 $C$ 存在。其主要贡献在于，在大基数假设下，对 $Σ_1^1$ 和 $Π_1^1$ 等价关系且所有等价类均为 $Δ_1^1$ 的情形，给出了该主问题的改进版本的肯定回答。

ABSTRACT

The following will be shown: Let $I$ be a $σ$-ideal on a Polish space $X$ with the property that the associated forcing of $I^+$ Borel subsets ordered by $\subseteq$ is a proper forcing. Let E be an analytic or coanalytic equivalence relation on this Polish space with all equivalence classes Borel. If sharps of certain sets exist, then there is an $I^+$ Borel subset $C$ of $X$ such that $E \upharpoonright C$ is a Borel equivalence relation.

研究动机与目标

• 确定在何种条件下，波兰空间上的解析或共解析等价关系可以被限制到一个 $Δ_1^1$ 集合上，使得限制后的关系成为 $Δ_1^1$ 等价关系。
• 通过要求所有等价类均为 $Δ_1^1$ 来增强主问题的鲁棒性，避免因可数集合导致的平凡情况。
• 使用 $σ$-理想的力迫理论框架，其中关联的力迫为 $Π_I$，以推导绝对性和泛型性论证。
• 在假设所有大小为 $(2^{\aleph_0})^+$ 的 $z$ 都满足 $z^\sharp$ 存在的条件下，建立一个 $Δ_1^1$ 集合 $C$，使得 $E\upharpoonright C$ 为 $Δ_1^1$。
• 探索在构造可实现的实数和力迫扩张的背景下，是否存在 $Π_1^1$ 等价关系，其等价类为 $L$ 中的不可数稀疏集。

提出的方法

• 使用由 $I^+$ $Δ_1^1$ 子集构成的力迫 $Π_I$，其中 $I$ 是一个 $σ$-理想，且在波兰空间 $X$ 上按包含关系排序。
• 应用 Zapletal 的刻画：当且仅当对每个满足 $\u03a0_I, B \in M$ 的可数模型 $M \prec H_\Theta$，其上 $Π_I$-泛型元素的集合为 $I^+$ 且为 $Δ_1^1$ 时，$Π_I$ 是正规的。
• 利用绝对性和泛型性，将 $E$ 的性质从原模型传递到泛型扩张中，确保 $E\upharpoonright C$ 保持为 $Δ_1^1$。
• 使用 Lusin-Novikov 一致化定理，构造编码由 $Δ_1^1$ 集合生成的自由阿贝尔群中元素的 $Δ_1^1$ 函数。
• 通过利用 $L$ 中此类集合的可构造性，构建 $\mathbb{R}$ 上的 $Π_1^1$ 陪集等价关系，其基础为一个稀疏的 $Δ_1^1$ 实数子群。
• 应用 Mansfield-Solovay 定理，确保在力迫扩张中，稀疏的 $Δ_1^1$ 实数集保持不变，从而在 $L$ 中保持其不可数稀疏性。

实验结果

研究问题

• RQ1 给定一个波兰空间 $X$ 上的 $σ$-理想 $I$，使得力迫 $\u03a0_I$ 是正规的，且给定一个 $\u03a3_1^1$ 等价关系 $E$，其所有等价类均为 $\u0394_1^1$，是否存在一个 $I^+$ $\u0394_1^1$ 集合 $C$，使得 $E\upharpoonright C$ 为 $\u0394_1^1$？
• RQ2 对于一个 $\u03c3$-理想 $I$，其关联的 $\u03a0_I$ 为正规的，且给定一个 $\u03a0_1^1$ 等价关系 $E$，其所有等价类均为 $\u0394_1^1$，是否存在一个 $I^+$ $\u0394_1^1$ 集合 $C$，使得 $E\upharpoonright C$ 为 $\u0394_1^1$？
• RQ3 在 $L$ 中，是否存在一个 $\u03a0_1^1$ 等价关系 $E$，使得每个等价类 $[x]_E$ 均为不可数稀疏集？
• RQ4 能否在不显式引用稀疏的 $\u0394_1^1$ 集的情况下构造一个 $\u03a0_1^1$ 等价关系，使其在 $\omega_1^L < \omega_1^V$ 的模型中，为 $C$ 的存在性提供肯定答案？
• RQ5 能否通过 $L$ 中的 $\u03a0_1^1$ 等价关系，将 $ {}^\omega\omega $ 划分为 $\u03a0_1^1$ 个部分，每个部分均为不可数稀疏集？

主要发现

• 在假设所有 $z \in H_{(2^{\aleph_0})^+}$ 都满足 $z^\sharp$ 存在的条件下，对任意波兰空间 $X$ 上的 $\u03a3_1^1$ 或 $\u03a0_1^1$ 等价关系 $E$，若其所有等价类均为 $\u0394_1^1$，则存在一个 $\u0394_1^1$ 集合 $C \subseteq X$，使得 $E\upharpoonright C$ 为 $\u0394_1^1$。
• 当关联的力迫 $\u03a0_I$ 为正规时，此类 $C$ 的存在性得到保证，通过泛型性和绝对性确保 $E\upharpoonright C$ 的 $\u0394_1^1$ 性质得以保持。
• 构造了一个 $\u03a0_1^1$ 等价关系 $E$ 在 $\mathbb{R}$ 上，使得每个等价类 $[x]_E$ 与 $L$ 中一个 $\u0394_1^1$ 不可数稀疏集之间存在双射，具体为由一个 $\u0394_1^1$ 稀疏实数集生成的子群。
• 所构造的等价关系 $E$ 为 $\u03a0_1^1$，且满足 $L \models \text{对所有 } x, [x]_E \text{ 为不可数稀疏集}$，从而为问题 10.8 提供了肯定回答。
• 定理 11.1 中的等价关系 $E$ 不满足问题 10.7 的要求，因为它依赖于可构造编码的稀疏集，且在 $\omega_1^L < \omega_1^V$ 的模型中无法保持不可数稀疏性。
• 结果表明，任何满足问题 10.7 的解都必须避免显式使用稀疏的 $\u0394_1^1$ 集，因为此类构造在 $\omega_1$ 更大的力迫扩张中无法保持所需性质。