[论文解读] Equivalences between Non-trivial Variants of 3LDT and Conv3LDT

Bartłomiej Dudek, Paweł Gawrychowski+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 5, 2020

Advanced Graph Theory Research参考文献 56被引用 5

一句话总结

该论文在强亚二次归约下，建立了所有非平凡的3LDT问题变体之间的亚二次等价性——其中三个不同的整数必须满足线性方程 α₁x₁ + α₂x₂ + α₃x₃ = t——并将其与经典3SUM问题等价。该研究将这种等价性扩展至基于卷积的变体（Conv3LDT），表明在多项式有界全域上，所有非平凡变体均与3SUM等价，通过新颖地应用Behrend关于结构化和自由集合的构造，解决了Erickson提出的关于x₁ + x₂ = 2x₃问题3SUM难性的一个开放问题。

ABSTRACT

The popular 3SUM conjecture states that there is no strongly subquadratic time algorithm for checking if a given set of integers contains three distinct elements $x_1, x_2, x_3$ such that $x_1+x_2=x_3$. A closely related problem is to check if a given set of integers contains distinct elements satisfying $x_1+x_2=2x_3$. This can be reduced to 3SUM in almost-linear time, but surprisingly a reverse reduction establishing 3SUM hardness was not known. We provide such a reduction, thus resolving an open question of Erickson. In fact, we consider a more general problem called 3LDT parameterized by integer parameters $α_1, α_2, α_3$ and $t$. In this problem, we need to check if a given set of integers contains distinct elements $x_1, x_2, x_3$ such that $α_1 x_1+α_2 x_2 +α_3 x_3 = t$. We prove that all non-trivial variants of 3LDT over the same universe $[-n^c,n^c]$ for some $c\geq2$ are equivalent under subquadratic reductions. The main technical tool used in our proof is an application of the famous Behrend's construction that partitions a given set of integers into few subsets that avoid a chosen linear equation. We extend our results to Conv3LDT and show that for all $c\geq2$, all non-trivial variants of 3LDT over the universe $[-n^c,n^c]$ and of Conv3LDT over the universe $[-n^{c-1},n^{c-1}]$ are subquadratic-equivalent, so in particular they are all equivalent to 3SUM under subquadratic reductions. Finally, we show how to apply the methods of Fischer et al. to show that we can reduce non-trivial variant of 3LDT (Conv3LDT) over an arbitrary universe to the same variant over cubic (quadratic) universe.

研究动机与目标

• 解决Erickson提出的关于x₁ + x₂ = 2x₃问题是否为3SUM难的开放问题。
• 对多项式有界全域上的所有3LDT与Conv3LDT变体进行分类。
• 证明在[−nc, nc]（c ≥ 2）上的非平凡3LDT变体与3SUM亚二次等价。
• 将等价性扩展至[−nc−1, nc−1]上的卷积基变体（Conv3LDT）。
• 展示任意全域可被归约至立方或二次全域，而不会损失等价性。

提出的方法

• 应用Behrend构造，将整数集划分为少量和自由子集，以支持结构化归约。
• 使用亚二次归约，证明在[−nc, nc]（c ≥ 2）上非平凡3LDT变体之间的等价性。
• 将归约方法扩展至Conv3LDT，证明在[−nc−1, nc−1]（c ≥ 2）上与3SUM的等价性。
• 利用Fischer等人（ITCS 2024）的技术，将任意全域归约至立方或二次全域。
• 采用染色编码与参数化归约，处理3LDT中对互异性约束的处理。
• 建立3LDT变体与3SUM之间的双向亚二次归约，证明其完备性。

实验结果

研究问题

• RQ1 x₁ + x₂ = 2x₃问题是否为3SUM难，从而解决Erickson提出的开放问题？
• RQ2 在[−nc, nc]（c ≥ 2）上的所有非平凡3LDT变体是否与3SUM亚二次等价？
• RQ3 在[−nc−1, nc−1]（c ≥ 2）上的Conv3LDT变体是否也表现出相同的等价性？
• RQ4 能否将3LDT的任意全域归约至立方全域，同时保持等价性？
• RQ5 能否将Conv3LDT归约至二次全域，而不损失亚二次等价性？

主要发现

• 在[−nc, nc]（c ≥ 2）上的所有非平凡3LDT变体与3SUM亚二次等价。
• 在[−nc−1, nc−1]（c ≥ 2）上的所有非平凡Conv3LDT变体与3SUM亚二次等价。
• x₁ + x₂ = 2x₃问题为3SUM难，解决了Erickson提出的开放问题。
• 归约技术依赖于Behrend构造，将整数划分为少量和自由集合。
• 任意全域上的非平凡3LDT变体可被归约至立方全域，且亚二次开销。
• 任意全域上的Conv3LDT变体可被归约至二次全域，且亚二次开销。