[论文解读] Equivariant aspects of singular instanton Floer homology

Aliakbar Daemi, Christopher Scaduto|arXiv (Cornell University)|Dec 19, 2019

Geometric and Algebraic Topology参考文献 51被引用 11

一句话总结

该论文通过在整同调3-球面上的 framed singular connections 上引入 $SU(2)$ 规范理论与圆作用，发展了奇异瞬子 Floer 同调中等变不变量。通过从 Chern–Simons 泛函构造等变 Morse 链复形，作者定义了三元同调群、如 $h(K)$ 的新同伦不变量，以及增强的 $\mathcal{S}$-复形。一个关键结果是：当迹为零的表示簇大小为 $\frac{1}{2}(|\Delta_K| + 1)$ 时，$h(K) = 0$ 对于某些正则扭结和 Montesinos 扭结成立，从而恢复并推广了 Kronheimer–Mrowka 的不变量。

ABSTRACT

We associate several invariants to a knot in an integer homology 3-sphere using $SU(2)$ singular instanton gauge theory. There is a space of framed singular connections for such a knot, equipped with a circle action and an equivariant Chern-Simons functional, and our constructions are morally derived from the associated equivariant Morse chain complexes. In particular, we construct a triad of groups analogous to the knot Floer homology package in Heegaard Floer homology, several Frøyshov-type invariants which are concordance invariants, and more. The behavior of our constructions under connected sums are determined. We recover most of Kronheimer and Mrowka's singular instanton homology constructions from our invariants. Finally, the ADHM description of the moduli space of instantons on the 4-sphere can be used to give a concrete characterization of the moduli spaces involved in the invariants of spherical knots, and we demonstrate this point in several examples.

研究动机与目标

• 通过在 framed singular $SU(2)$ 连接上引入 $S^1$ 对称性的 $SU(2)$ 规范理论，发展奇异瞬子 Floer 同调中的等变不变量。
• 构造一个类似于扭结 Floer 同调的三元同调群，以增强瞬子同调的代数结构。
• 利用等变同调与局部系数系统，定义新的同伦不变量如 $h(K)$ 和 $\Gamma^{R}_{(Y,K)}$。
• 通过 framed 瞬子复形，恢复并推广 Kronheimer 和 Mrowka 工作中的现有不变量，特别是 $I^\natural(K)$ 与 $I^\#(K)$。
• 建立不变量的连通和定理，并通过 ADHM 构造刻画球面扭结的模空间。

提出的方法

• 通过在 framed singular $SU(2)$ 连接空间上引入圆作用，并利用等变 Chern–Simons 泛函，构造具有 $S^1$-等变性的 Morse-Bott 复形。
• 引入 $\mathcal{S}$-复形结构以建模等变同调，其中算子 $\delta_1$ 与 $\delta_2$ 编码等变微分。
• 利用局部系数系统与 Chern–Simons 滤子增强复形，从而产生如 $\Gamma^{R}_{(Y,K)}$ 的新不变量。
• 通过分支覆盖与表示簇分析，将该理论应用于正则扭结与 Montesinos 扭结，使用迹为零的表示簇 $\mathscr{X}(K)$。
• 利用 ADHM 构造显式描述球面扭结的模空间，实现具体计算。
• 通过定义链映射 $\widetilde{\lambda}_{(W,S)}$ 与 $\widetilde{\lambda}_{(W',S')}$，并建立链同伦与自然性，证明了连通和定理。

实验结果

研究问题

• RQ1 在整同调3-球面中，扭结 $K$ 的等变不变量 $h(K)$ 在何种条件下为零？
• RQ2 奇异瞬子 Floer 复形的等变结构如何用于恢复并推广 Kronheimer–Mrowka 的不变量 $I^\natural(K)$ 与 $I^\#(K)$？
• RQ3 Chern–Simons 滤子与局部系数在增强 $\mathcal{S}$-复形结构及产生新同伦不变量中起何作用？
• RQ4 奇异瞬子的模空间在连通和下如何行为？其结果不变量的代数结构为何？
• RQ5 ADHM 构造能否用于显式计算具有球面分支覆盖的扭结（如正则扭结）的模空间？

主要发现

• 当 $p \equiv \pm1 \pmod{4}$ 时，$(p, 2pk+2)$ 与 $(p, 2pk\pm(2-p))$ 正则扭结的不变量 $h(K)$ 为零，前提是 $1 + |\sigma(K)| = |\Delta_K|$。
• 若扭结 $K$ 的迹为零表示簇 $\mathscr{X}(K)$ 有限且非退化，且满足 $|\mathscr{X}(K)| = \frac{1}{2}(|\Delta_K| + 1)$，则 $h(K) = 0$。
• framed 瞬子复形 $\widetilde{C}_*(K)$ 与 $C_*(K) \oplus C_{*-1}(K) \oplus \mathbb{Z}$ 同调等价；若 $C_*(K)$ 有 $\frac{1}{2}(|\Delta_K| - 1)$ 个生成元，则 $\delta_1 = \delta_2 = 0$，从而 $h(K) = 0$。
• 连通和定理建立了连通和的等变不变量与分量不变量张量积之间的自然等价。
• 对于 $(-2,3,7)$ 美味扭结，$h(K) = 0$，因为 $|\mathscr{X}(K)| = \frac{1}{2}(|\Delta_K| + 1)$，该结论由 Casson 不变量与临界集的非退化性确认。
• $\mathcal{S}$-复形结构对扭结符号进行范畴化，并支持一个滤子，其分次欧拉示性数为亚历山大多项式。