[论文解读] Equivariant Bloch-Kato conjecture and non-abelian Iwasawa Main Conjecture

Annette Huber, Guido Kings|arXiv (Cornell University)|Jul 30, 2002

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 27被引用 23

一句话总结

本文建立了等变Bloch-Kato猜想与非交换Iwasawa主猜想之间的精确联系，表明通过Iwasawa理论中的非交换行列式与射影极限，前者可推出后者。关键贡献在于在Iwasawa代数中建立了行列式的典范同构，从而重构了Rubin的主猜想，并支持了将一般Tamagawa数猜想通过扭化手段约化为类数公式的哲学。

ABSTRACT

This is a contribution to the ICM 2002. We explain the relation between the (equivariant) Bloch-Kato conjecture for special values of L-functions and the Main Conjecture of (non-abelian) Iwasawa theory. On the way we will discuss briefly the case of Dirichlet characters in the abelian case. We will also discuss how "twisting" in the non-abelian case would allow to reduce the general conjecture to the case of number fields. This is one the main motivations for a non-abelian Main Conjecture.

研究动机与目标

• 阐明等变Bloch-Kato猜想与非交换Iwasawa主猜想之间的关系。
• 为任意动机及p进Lie层塔建立主猜想，而无需显式使用p进L函数。
• 证明等变Tamagawa数猜想可通过非交换K理论推出非交换Iwasawa主猜想。
• 支持一般L值猜想可通过非交换情形下的扭化手段约化为类数公式的观点。

提出的方法

• 利用范畴V(A)与A模的完美复形上的det_A函子，基于非交换行列式框架。
• 应用K_1与K_0群理论，分析Iwasawa代数中生成元的射影系统。
• 通过Z_p[G_n]群环的K_1群的逆极限，将相容的生成元系统上移至Iwasawa代数Λ。
• 利用Iwasawa代数中上同调群行列式的同构，重构Rubin的主猜想。
• 应用zeta元与Beilinson的Eisenstein符号理论，构造了平展上同调中的显式生成元。
• 依赖于zeta元在过渡映射下的相容性及其在p进再生器下的像。

实验结果

研究问题

• RQ1 等变Bloch-Kato猜想与非交换Iwasawa主猜想之间有何关系？
• RQ2 非交换Iwasawa主猜想是否可在不显式使用p进L函数的情况下建立？
• RQ3 通过扭化手段，Tamagawa数猜想在多大程度上可约化为等变类数公式？
• RQ4 非交换行列式在连接Motivic上同调与Iwasawa理论中起什么作用？
• RQ5 伽罗瓦上同调中相容的zeta元系统如何上移到Iwasawa代数？

主要发现

• 等变Tamagawa数猜想蕴含了在Q上取值于Q的动机的非交换Iwasawa主猜想。
• 建立了行列式的典范同构：在Iwasawa代数Λ中，有 det_Λ(H^1(...)/e_k) ≅ det_Λ(H^2(...))。
• zeta元δ_p(G_n, M, k)映射为平展上同调中椭圆单位的扭化，提供了显式相容性。
• Z_p[G_n]的K_1群的射影极限满射至B_n的极限，从而实现相容生成元系统在Iwasawa代数中的上移。
• Q_p[G_n]⊗∇中的生成元系统δ(n)通过Z_p[G_n]的K_1群的逆极限上移至∇，证明了全局生成元的存在性。
• 该构造支持了如下观点：通过扭化，可将一般L值猜想约化为数域中的类数公式。