[论文解读] Equivariant characteristic classes of complex algebraic varieties

Sylvain E. Cappell, Laurenţiu Maxim+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 11, 2010

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 23被引用 11

一句话总结

本文为具有有限群作用的奇异整体射影概形引入了等变Hirzebruch特征类，将Brasselet-Schuermann-Yokura的同调Hirzebruch类推广至等变设定。该文建立了一个框架，用于计算整体商概形上的这些类，并将其应用于单值化问题以及轨道空间上扭曲类的Atiyah-Meyer型公式。

ABSTRACT

Homology Hirzebruch characteristic classes for singular varieties have been recently defined by Brasselet-Schuermann-Yokura as an attempt to unify previously known characteristic class theories for singular spaces (e.g., MacPherson-Chern classes, Baum-Fulton-MacPherson Todd classes, and Goresky-MacPherson L-classes, respectively). In this note we define equivariant analogues of these classes for singular quasi-projective varieties acted upon by a finite group of algebraic automorphisms, and show how these can be used to calculate the homology Hirzebruch classes of global quotient varieties. We also compute the new classes in the context of monodromy problems, e.g., for varieties that fiber equivariantly (in the complex topology) over a connected algebraic manifold. As another application, we discuss Atiyah-Meyer type formulae for twisted Hirzebruch classes of global orbifolds.

研究动机与目标

• 将奇异概形的同调Hirzebruch特征类在有限群作用下推广至等变设定。
• 为由群作用产生的整体商概形上的这些类提供系统化的计算方法。
• 将等变类应用于涉及连通代数流形上等变纤维丛的单值化问题。
• 为整体轨道空间上的扭曲Hirzebruch类推导Atiyah-Meyer型公式。
• 在群等变奇异代数几何背景下，统一并推广现有的特征类理论（如陈类、Todd类、L-类）。

提出的方法

• 通过奇异整体射影概形上相干层的等变Grothendieck群来定义等变特征类。
• 利用类Riemann-Roch定理在K-理论与同调之间建立联系，从而构造这些类。
• 利用整体商结构，将等变类表示为不动点数据与群表示理论的函数。
• 将这些类应用于具有复解析拓扑的纤维丛，以分析单值化行为。
• 通过引入等变Euler类与向量丛的特征类，推导出扭曲Hirzebruch类的公式。
• 利用等变上同调中的局部化技术，在特定几何设定下显式计算这些类。

实验结果

研究问题

• RQ1 同调Hirzebruch特征类如何推广至具有有限群作用的奇异概形？
• RQ2 整体商概形的等变特征类具有何种结构？
• RQ3 这些类在复拓扑下的等变纤维丛与单值化行为中如何表现？
• RQ4 能否将Atiyah-Meyer型公式推广至整体轨道空间上的扭曲Hirzebruch类？
• RQ5 新定义的等变类与经典特征类（如陈类、Todd类、L-类）之间存在何种关系？

主要发现

• 本文成功定义了具有有限群作用的奇异整体射影概形的等变Hirzebruch特征类，推广了非等变理论。
• 通过不动点局部化与表示论数据，证明了这些类在整体商概形上可计算。
• 该框架使在群作用存在的情况下显式计算同调Hirzebruch类成为可能，尤其适用于单值化情境。
• 为整体轨道空间上的扭曲Hirzebruch类建立了Atiyah-Meyer型公式，将已知结果推广至等变设定。
• 在适当极限下，等变类恢复了经典不变量，如MacPherson陈类与Baum-Fulton-MacPherson Todd类。
• 该理论提供了一个统一框架，将奇异特征类与群等变几何和拓扑联系起来。