[论文解读] Equivariant Cohomology and Localization Formula in Supergeometry

Pascal Lavaud|ArXiv.org|Feb 4, 2004

Advanced Topics in Algebra参考文献 13被引用 4

一句话总结

本文通过在特定几何条件下为超向量丛构造具有广义系数的等变 Thom 形式，将 Berline-Vergne 的等变局部化公式推广至超几何领域。该工作在非孤立不动点的超流形上建立了可积等变形式的局部化公式，利用由超联络和正则性条件导出的广义欧拉类，将经典公式扩展至李超代数群和非紧致作用的情形。

ABSTRACT

Let G be a compact Lie group. Let M be a smooth G-manifold and V --> M be an oriented G-equivariant vector bundle. One defines the spaces of equivariant forms with generalized coefficients on V and M. An equivariant Thom form $θ$ on V is a compactly supported closed equivariant form such that its integral along the fibres is the constant function 1 on M. Such a Thom form was constructed by Mathai and Quillen. Its restriction to M gives a representative of the equivariant Euler class of V. In the supergeometric situation we give proper definitions of all the objects involved. But, in this case a Thom form doesn't always exist. In this article, when the action of G on V is sufficiently non-trivial, we construct such a Thom form with generalized coefficients. We use it to construct an equivariant Euler form of V and to generalize Berline-Vergne's localization formula to the supergeometric situation.

研究动机与目标

• 将 Berline-Vergne 局部化公式推广至配备李超代数群作用的超流形。
• 在不存在标准 Thom 形式的情况下，为超向量丛构造等变欧拉类的代表元。
• 当作用足够非平凡时，定义具有广义系数的广义等变 Thom 形式。
• 在全局定向的超流形上，为具有非孤立不动点的可积等变形式建立局部化公式。
• 为检验 Kirillov 型特征公式并构造李超代数上的不变广义函数提供一个框架。

提出的方法

• 当标准 Thom 形式不存在时，在 $G$-等变超向量丛 $\mathcal{V} \to M$ 上构造具有广义系数的等变 Thom 形式。
• 使用 $G(X)$-不变的欧几里得结构 $Q$ 和 $G(X)$-不变的超联络 $\mathbb{A}_{\mathfrak{g}}$，其在法丛 $T_N M(X)$ 上具有作用量映射 $\mu_{\mathbb{A}}$。
• 施加条件 $(**)$：对 $M_0$ 的某个开覆盖 $\{W\}$，集合 $U_+^{T_N M(X)_1}(W)$ 包含非空开子集，以确保 $Q(v, \mu_{\mathbb{A}}(Z)v)_{\mathbb{R}}$ 在奇部上为正。
• 通过超联络和作用量映射，将等变欧拉形式 $\mathcal{E}_{\mathfrak{g}}(Z)$ 定义为 $T_N M(X)$ 的等变欧拉类的代表元。
• 使用沿 superbundle 的偶部 $\mathcal{V}^0$ 的积分，而非整个纤维，来应用修改后的 Thom 同构，从而建立 $\widehat{\Omega}_{\int}(\mathcal{V})$ 与 $\widehat{\Omega}_{\int}(M)$ 的上同调关系。
• 利用 $G$-不变性与到法丛的同构，将局部化问题转移至 $T_N M(X)$ 中 $M(X)$ 的邻域，并应用非超几何情形下的局部化论证的超类比。

实验结果

研究问题

• RQ1 在李超代数群作用下，Berline-Vergne 局部化公式能否推广至具有非孤立不动点的超流形？
• RQ2 在何种几何条件下，超向量丛存在具有广义系数的等变 Thom 形式？
• RQ3 在不存在标准 Thom 形式时，如何表示超向量丛的等变欧拉类？
• RQ4 作用量映射在奇部上的正则性在构造有效局部化公式中起什么作用？
• RQ5 该框架能否用于定义李超代数上的不变广义函数并检验 Kirillov 型特征公式？

主要发现

• 本文在标准 Thom 形式不存在时，为 $G$-等变超向量丛构造了具有广义系数的广义等变 Thom 形式。
• 关键条件 $(**)$ 确保了在奇部上满足 $Q(v, \mu_{\mathbb{A}}(Z)v)_{\mathbb{R}} > 0$ 的 $Z \in \mathfrak{g}_0(X)$ 的集合非空且开，从而支持了欧拉形式的构造。
• 局部化公式在 $\mathfrak{g}_0(X)$ 中 $X$ 的邻域 $O$ 内成立，且对可积闭合等变形式 $\alpha$ 有等式 $\int_M \alpha(Z) = (2\pi)^{\frac{n+m}{2}} \int_{M(X)} \frac{j^*\alpha(Z)}{\mathcal{E}_{\mathfrak{g}}(Z)}$。
• 该公式在 $M(X)$ 的连通分支上退化为有限和，因为 $\alpha$ 的支集紧致，且非零项数目有限。
• 该构造适用于非紧致作用和不必然约化为李群的李超代数群，扩展了 Schwarz 与 Zaboronky 的先前结果。
• 该方法为在 $\mathfrak{g}$ 为幂零时，将酉表示与超群的余伴面轨道相关联提供了框架，如 Duflo 所指出。