[论文解读] Equivariant cohomology and resolution

Pierre Albin, Richard Melrose|arXiv (Cornell University)|Jul 20, 2009

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 10被引用 3

一句话总结

本文通過迭代爆破，以標準方式解決了在具有角的流形上由緊緻李群作用的光滑作用，構造了一個統一解決所有穩定子類型的解析塔。該研究追蹤了等變K理論、Cartan等變上同調模型以及非局部等變上同調，並在解析後的商空間上獲得明確且簡化的模型，進而使解析後設定下的等變陳特徵得以明確表達。

ABSTRACT

The `Folk Theorem' that a smooth action by a compact Lie group can be (canonically) resolved, by iterated blow up, to have unique isotropy type is proved in the context of manifolds with corners. This procedure is shown to capture the simultaneous resolution of all isotropy types in a `resolution tower' which projects to a resolution, with iterated boundary fibration, of the quotient. Equivariant K-theory and the Cartan model for equivariant cohomology are tracked under the resolution procedure as is the delocalized equivariant cohomology of Baum, Brylinski and MacPherson. This leads to resolved models for each of these cohomology theories, in terms of relative objects over the resolution tower and hence to reduced models as flat-twisted relative objects over the resolution of the quotient. As a result an explicit equivariant Chern character is constructed, essentially as in the non-equivariant case, over the resolution of the quotient.

研究动机与目标

• 提供在具有角的流形上由緊緻李群作用的光滑作用的標準解析，透過迭代爆破確保唯一穩定子類型。
• 構造一個解析塔，可同時解析所有穩定子類型，並投影至商空間的解析。
• 追蹤解析過程中等變K理論、等變上同調的Cartan模型以及非局部等變上同調。
• 在商空間解析上推導出等變上同調理論的簡化、平坦扭轉相對模型。
• 在解析後的設定中構造明確的等變陳特徵，類比非等變情形。

提出的方法

• 利用具有角流形的迭代爆破，以標準且統一的方式解析穩定子類型。
• 構造一個解析塔，其映射至商空間的解析，具有迭代邊界纖化結構。
• 透過塔上相對物件追蹤解析過程中的等變K理論與等變上同調的Cartan模型。
• 將框架擴展至Baum、Brylinski與MacPherson意義下的非局部等變上同調。
• 在商空間解析上為每一種上同調理論推導出簡化之平坦扭轉相對模型，簡化其結構。
• 在解析後的商空間上構造明確的等變陳特徵，類比非等變情形的構造。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何透過迭代爆破，以標準方式解析緊緻李群在具有角流形上的光滑作用，以消除非均勻的穩定子類型？
• RQ2 能同時解析所有穩定子類型並投影至商空間解析的解析塔具有何種結構？
• RQ3 等變K理論與等變上同調的Cartan模型在解析程序中如何轉變？
• RQ4 非局部等變上同調在解析框架中如何被保留或轉變？
• RQ5 是否能在解析後的設定中構造出類比非等變情形的明確等變陳特徵？

主要发现

• 緊緻李群作用於具有角流形上的解析，透過迭代爆破以標準方式實現，結果產生唯一穩定子類型。
• 解析過程產生一個解析塔，其投影至具有迭代邊界纖化結構的商空間解析。
• 等變K理論與等變上同調的Cartan模型作為相對物件，保留在解析塔之上。
• 非局部等變上同調在解析過程中被追蹤，進而使其在解析後框架中得以重構。
• 在商空間解析上為所有三種上同調理論構造出簡化、平坦扭轉的相對模型。
• 在解析後的商空間上實現了明確的等變陳特徵，類比非等變情形。