[论文解读] Equivariant counts of points of the moduli spaces of pointed hyperelliptic curves

Jonas Bergström|arXiv (Cornell University)|Nov 27, 2006

Algebraic Geometry and Number Theory被引用 2

一句话总结

本文建立了在有限域上，对亏格 g 的 n 个点标记的双椭圆曲线模空间 Hg,n 的 Sn-等变点计数的递推关系，使得可通过 Lefschetz 跟踪公式计算 ℓ-进和 Betti 上同调结构。关键结果是：当 n ≤ 7 时，仅需了解亏格 0 和亏格 1 的情况，即可对所有 g 计算这些不变量，而特征依赖性仅在权重 6 且亏格 ≥3 时出现。

ABSTRACT

We consider the moduli space $\Hh_{g,n}$ of $n$-pointed smooth hyperelliptic curves of genus $g$. In order to get cohomological information we wish to make $\s_n$-equivariant counts of the numbers of points defined over finite fields of this moduli space. We find recurrence relations in the genus that these numbers fulfill. Thus, if we can make $\s_n$-equivariant counts of $\Hh_{g,n}$ for low genus, then we can do this for every genus. Information about curves of genus 0 and 1 is then found to be sufficient to compute the answers for $\Hh_{g,n}$ for all $g$ and for $n \leq 7$. These results are applied to the moduli spaces of stable curves of genus 2 with up to 7 points, and this gives us the $\s_n$-equivariant Galois (resp. Hodge) structure of their $\ell$-adic (resp. Betti) cohomology.

研究动机与目标

• 计算模空间 Hg,n 上 n 个点标记的光滑双椭圆曲线在 Fq 上的 Sn-等变点计数。
• 推导出在亏格 g 中的递推关系，使得可从低亏格的点计数推广至所有亏格。
• 确定模空间 Mg,n 在亏格 2 且 n ≤ 7 时的 Sn-等变 Galois（ℓ-进）与 Hodge（Betti）上同调结构。
• 确定这些不变量中特征依赖性首次出现的时间点，特别是权重 6 且亏格 ≥3 时。
• 建立一个框架，将点计数与 Hg 上局部系统 motivic 及权重滤子上同调联系起来。

提出的方法

• 通过与对称函数和幂和相关的系数 aλ|g 定义 Sn-等变点计数。
• 将 aλ|g 表示为有限域上的多项式，区分奇特征与偶特征情形。
• 通过将唯一分解为首一平方项与无平方部分，推导出 ug（aλ|g 的基本构建块）的递推关系。
• 基于定理 5.2 给出的特征多项式，建立 aλ|g 的线性递推关系，并对大亏格使用插值法。
• 应用 Lefschetz 跟踪公式，将点计数与 ℓ-进上同调上 Frobenius 算子的迹联系起来，进而转化为 Grothendieck 群中权重滤子欧拉示性数。
• 利用点计数的纯性与多项式性，通过定理 3.4 推导出单个上同调群的 Galois 与 Hodge 结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 在仅知低亏格数据的前提下，如何计算所有 g 的 Hg,n 上的 Sn-等变点计数？
• RQ2 在亏格 g 中，等变点计数 aλ|g 的递推关系是什么？奇特征与偶特征情形有何不同？
• RQ3 在哪些权重与亏格下，Hg,n 的上同调不变量中首次出现特征依赖性？
• RQ4 在多大程度上可从这些点计数重构 Mg,n（亏格 2 且 n ≤ 7）的 ℓ-进与 Betti 上同调？
• RQ5 在何种条件下，权重滤子上同调 ew_c(Hg ⊗ Q, Vλ) 会稳定或消失，特别是当 λ 满足 λ1 > |λ|/2 时？

主要发现

• 当 n ≤ 7 时，Hg,n 的 Sn-等变点计数完全由亏格 0 和亏格 1 的数据决定，可通过递推关系计算所有 g 的结果。
• 在奇特征与偶特征下，点计数 aλ|g 均为 q（有限域大小）的多项式，特征依赖性仅在权重 6 且亏格 ≥3 时出现。
• 在权重 ≤5 时，不变量与基域的特征无关，但在权重 6 时，依赖性从亏格 3 开始出现。
• 在权重滤子上同调 ew_c(Hg ⊗ Q, Vλ) 上 Frobenius 的迹由多项式 Rλ(q)|g 表示，其中 g ≥ |λ| − 1，且在 q 中具有显式有理函数表达式。
• 当 g ≥ |λ| − 1 且 w = 5|λ| − 9 时，ew_c(Hg ⊗ Q, Vλ) = 0 的猜想对所有满足 λ1 > |λ|/2 的 λ 成立，并已对 |λ| ≤ 30 验证。
• 结果与 Bini–van der Geer、Getzler 及 Tommasi 关于双椭圆与稳定曲线模空间 motivic 及上同调不变量的先前猜想与计算一致。