[论文解读] Equivariant Dimensional Regularization

Stefan Weinzierl|ArXiv.org|Mar 17, 1999

Geometric and Algebraic Topology参考文献 3被引用 9

一句话总结

本文提出了一种新颖的正则化方案，称为‘等变维数正则化’，以在宇称破坏或超对称理论的维数正则化中一致地处理 γ⁵。通过使用格罗滕迪克的 K-函子来定义非整数维数的向量空间，该方法实现了两种方案——类似 HV 的方案与四维方案——两者均保持洛伦兹不变性，同时解决了克利福德代数的形变问题。四维方案因其实用性而被推荐，显式的一圈异常计算结果与巴尔丁的结果一致。

ABSTRACT

The calculation of loop amplitudes with parity violation or spin effects within dimensional regularization needs a consistent definition of gamma5. Also loop calculations in supersymmetric theories need a consistent definition of gamma5. In this paper we develop a new formalism, which allows us to define consistent regularization schemes. We use Grothendieck's K-functor to construct finite-dimensional vectorspaces of non-integer rank. The rank will play the role of the ``4-2eps'' in conventional dimensional regularization. We then define two regularization schemes, one similar to the 't Hooft--Veltman scheme, the other one as a scheme, where all algebra is performed in four dimensions. Lorentz invariance is maintained in both cases. However the structure of the Clifford algebra cannot be preserved. We show that the HV-like scheme and the four-dimensional scheme correspond to two different deformations of the Clifford algebra. It is the purpose of this paper to advocate the four-dimensional scheme for future calculations, since it is easier to use. As a consistency check we performed explicit one-loop calculations of various triangle anomalies in both schemes and we found agreement with Bardeen's results.

研究动机与目标

• 解决在宇称破坏和超对称理论中使用维数正则化时 γ⁵ 定义不一致的问题。
• 开发一种正则化框架，保持洛伦兹不变性，同时允许非整数维数的有限维向量空间。
• 提出并比较两种方案——一种类似于 't Hooft–Veltman 方案，另一种为完全四维的方案——以实现实用且一致的圈图计算。
• 倡导四维方案，因其更易于使用而不影响一致性。
• 通过显式的一圈三角异常计算验证该方案，结果与巴尔丁的结果一致。

提出的方法

• 利用格罗滕迪克的 K-函子构造非整数维数的向量空间，取代传统的 '4-2ε' 维数设定。
• 定义两种正则化方案：一种采用类似 't Hooft–Veltman' 的维数正则化，另一种则在四维中完成所有代数运算。
• 在两种方案中均将克利福德代数视为形变，其中四维方案对应于一种不同的形变。
• 尽管无法保持完整的克利福德代数结构，两种方案均保持了洛伦兹不变性。
• 将该形式化方法应用于涉及 γ⁵ 的一圈振幅，特别是三角异常。
• 在两种方案中显式计算异常，以检验其与已知结果的一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有宇称破坏或超对称性的理论中，如何在维数正则化中一致地定义 γ⁵？
• RQ2 一种保持洛伦兹不变性同时处理非整数维数的一致正则化方案的数学结构是什么？
• RQ3 克利福德代数的不同形变如何影响涉及 γ⁵ 的圈图计算的一致性？
• RQ4 能否构建一种四维正则化方案，使其保持一致性并简化实际计算？
• RQ5 所提出的方案是否能重现巴尔丁推导出的正确三角异常结果？

主要发现

• 四维方案虽未保持完整的克利福德代数，但为依赖 γ⁵ 的振幅提供了一种一致且实用的替代传统维数正则化的方法。
• 在两种方案中显式计算的一圈三角异常结果与巴尔丁的异常定理一致。
• HV 类方案与四维方案对应于克利福德代数的两种不同形变，解释了其不同的代数结构。
• 使用格罗滕迪克的 K-函子为非整数维数的向量空间提供了严格的数学基础，取代了传统的启发式 '4-2ε' 维数设定。
• 四维方案在实际计算中被发现更高效且更易使用，同时不损害一致性。
• 该形式化方法在两种方案中成功保持了洛伦兹不变性，尽管完整的克利福德代数结构已破坏。