[论文解读] Equivariant geometry and the cohomology of the moduli space of curves

Dan Edidin|arXiv (Cornell University)|Jun 11, 2010

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 25被引用 20

一句话总结

本文提出了一种代数堆的积分上同调环的范畴框架，将其与商堆的等变上同调相联系。证明了如稳定曲线模空间 $\overline{\mathcal{M}}_g$ 这类光滑商堆的有理上同调，与它们的粗模空间的有理上同调同构，从而使得在奇异模空间上通过有理查环实现交点理论成为可能。

ABSTRACT

In this expository article we give a categorical definition of the integral cohomology ring of a stack. We show that for quotient stacks the categorical cohomology may be identified with equivariant cohomology. Via this identification we show that for Deligne-Mumford quotient stacks this cohomology is rationally isomorphic to the rational cohomology of the coarse moduli space. The theory is presented with a focus on the stacks of smooth and stable curves.

研究动机与目标

• 解决定义曲线模堆上同调时的基础性问题，因为这些堆并非普通空间。
• 为堆提供一种函子性、代数性的上同调与查环定义，且适用于整数系数。
• 建立德利涅-穆默福德堆与其粗模空间之间在有理上同调上的同构关系，特别是针对 $\mathcal{M}_g$ 与 $\overline{\mathcal{M}}_g$。
• 表明曲线模空间中的典型类自然位于函子性上同调环中，且粗模空间的有理查环继承了明确定义的交点积。

提出的方法

• 通过范畴化、函子性方法定义纤维于群胚范畴（CFG）的上同调，该方法推广了等变上同调。
• 将商堆 $[X/G]$ 的上同调环识别为等变上同调 $H^*_G(X)$，从而实现整数系数下的代数技术。
• 利用等变查理论定义堆的积分查环，特别是针对模堆 $\mathcal{M}_g$ 与 $\overline{\mathcal{M}}_g$。
• 证明对于光滑商堆，其有理上同调群通过保持次数的循环映射，与粗模空间的有理上同调群同构。
• 应用等变方法计算交点数，例如 $∫_{\overline{\mathcal{M}}_{1,1}} \lambda_1 = 1/24$，通过分析 $X = \mathbb{A}^2 \setminus \{0\}$ 上 $\mathbb{C}^*$-作用的权重与稳定子。
• 确立德利涅-穆默福德堆上 0-循环的次数通过其在粗模空间有理查群中的像来定义。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何为代数堆（特别是非概形的堆）定义一致且积分的上同调理论？
• RQ2 德利涅-穆默福德堆 $\mathcal{X}$ 的有理上同调在多大程度上与它的粗模空间 $M$ 的有理上同调一致？
• RQ3 曲线模空间中的典型类能否自然地嵌入堆的函子性上同调环中？
• RQ4 具有群作用的概形的等变查环与相应商堆的查环之间的确切关系是什么？
• RQ5 如何利用堆论方法计算如 $\overline{M}_g$ 这类奇异粗模空间上的交点数？

主要发现

• 光滑商堆 $[X/G]$ 的有理上同调环与它的粗模空间的有理上同调环同构。
• 粗模空间 $\overline{M}_g$ 的有理查环通过堆上同调继承了明确定义的交点积。
• 德利涅-穆默福德堆上 0-循环的次数通过其在粗模空间有理查群中的像来定义，且可为非整数（例如 $1/24$）。
• $\overline{\mathcal{M}}_{1,1}$ 的积分查环为 $\mathbb{Z}[t]/24t^2$，而其粗模空间 $\mathbb{P}^1$ 的积分查环为 $\mathbb{Z}[h]/h^2$，表明两者在 $\mathbb{Z}$ 上不构同。
• 交点数 $\int_{\overline{\mathcal{M}}_{1,1}} \lambda_1 = 1/24$ 通过等变方法计算，利用 $\mathbb{A}^2 \setminus \{0\}$ 上 $\mathbb{C}^*$-作用的权重 (4,6)。
• 在 $\overline{\mathcal{M}}_{1,1}$ 的有理查环中，单位元对应于 $\frac{1}{2}[\mathbb{P}^1]$，这是由于一般椭圆曲线上的 $\mu_2$-作用所致。