[论文解读] Equivariant homotopy of definable groups

Alessandro Berarducci, Marcello Mamino|arXiv (Cornell University)|May 7, 2009

Advanced Topology and Set Theory参考文献 9被引用 1

一句话总结

该论文证明了：在o-极小实闭域的扩张下，若两个定义可紧致且定义连通的群的关联李群同构，则它们是定义同伦等价的。利用紧致控制定理，构造了定义群与李群基本群范畴之间的G-等变同态，其在基本群上诱导自然同构，并证明此类等价关系可保持有限子群不变——在半单情形下由此得出定义同构。

ABSTRACT

Abstract. We consider groups definable in an o-minimal expansion of a real closed field. To each definable group G is associated in a canonical way a real Lie group G/G 00 which, in the definably compact case, captures many of the algebraic and topological features of G. In particular, if G is definably compact and definably connected, the definable fundamental group of G is isomorphic to the fundamental group of G/G 00. However the functorial properties of the isomorphism have so far not been investigated. Moreover from the known proofs it is not easy to understand what is the image under the isomorphism of a given generator. Here we clarify the situation using the “compact domination conjecture ” proved by Hrushovski, Peterzil and Pillay. We construct a natural homomorphism between the definable fundamental groupoid of G and the fundamental groupoid of G/G 00 which is equivariant under the action of G and induces a natural isomorphism on the fundamental groups. We use this to prove the following result. Let G and G ′ be two definably compact definably connected groups with isomorphic associated Lie groups. Then G and G ′ are definably homotopy equivalent. Moreover given a finite subgroup Γ of G, there is a definable homotopy equivalence f: G → G ′ that restricted to Γ is an isomorphism onto its image and such that f(cx) = f(c)f(x) for all c ∈ Γ and x ∈ G. In the semisimple case a stronger result holds: any Lie isomorphism from G/G 00 to G ′ /G ′00 induces a definable isomorphism from G to G ′. 1.

研究动机与目标

• 阐明定义可紧致且定义连通群G的定义基本群与其中心化李群G/G⁰⁰的基本群之间同构的函子性与几何本质。
• 解决关于该同构下特定生成元像的模糊理解问题。
• 在G的定义基本群范畴与G/G⁰⁰的基本群范畴之间建立自然的、G-等变同态。
• 证明关联李群同构可推出原始定义群之间的定义同伦等价。
• 证明此类同伦等价可保持有限子群不变，并与群作用相容。

提出的方法

• 利用最近由Hrushovski、Peterzil与Pillay证明的紧致控制猜想，将定义群与其关联李群联系起来。
• 在G的定义基本群范畴与G/G⁰⁰的基本群范畴之间构造G-等变同态。
• 利用G/G⁰⁰作为实李群的自然同构，将李群的拓扑与代数性质传递至定义群。
• 应用同态的等变性以确保与群作用的兼容性，特别是对有限子群的作用。
• 证明诱导的基本群映射为同构，从而保持基本群的结构。
• 将结果应用于半单情形，证明任何G/G⁰⁰与G′/G′⁰⁰之间的李群同构均可提升为G与G′之间的定义同构。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何使定义可紧致且定义连通群的定义基本群与其中心化李群基本群之间的同构具有函子性并几何上清晰？
• RQ2 给定定义基本群的一个生成元在与李群基本群同构下的像为何？
• RQ3 能否在具有同构关联李群的两个定义可紧致且定义连通群之间构造定义同伦等价？
• RQ4 能否选择此类同伦等价，使其保持有限子群并与群作用交换？
• RQ5 在半单情形下，G/G⁰⁰与G′/G′⁰⁰之间的李群同构是否必然诱导G与G′之间的定义同构？

主要发现

• 具有同构关联李群的定义可紧致且定义连通群是定义同伦等价的。
• 定义群与李群基本群范畴之间的同态是G-等变的，并在基本群上诱导同构。
• 对任意G的有限子群Γ，存在定义同伦等价f: G → G′，使得对所有c ∈ Γ与x ∈ G，有f(cx) = f(c)f(x)。
• f在Γ上的限制是其像在G′上的同构。
• 在半单情形下，任何G/G⁰⁰与G′/G′⁰⁰之间的李群同构均可提升为G与G′之间的定义同构。
• 该构造提供了基本群之间自然且唯一的同构，消除了生成元像的歧义。