[论文解读] Equivariant intersection theory

Dan Edidin, William Graham|ArXiv.org|Sep 25, 1996

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 27被引用 19

一句话总结

本文通过Totaro用表示的开子集逼近$EG$的方法，利用等变Chow群发展了线性代数群作用下代数空间的等变交点理论，该等变Chow群推广了普通Chow群。关键贡献是建立了有理等变Chow群与商代数空间及栈的Chow群之间的同构，使得能够在任意特征下计算模栈（如$\mathcal{M}_{1,1}$和$\overline{\mathcal{M}}_{1,1}$）的Chow环，并将交点理论推广至正特征，且无需要求稳定子群为约化形式。

ABSTRACT

This is a revised and shortened version of our paper "Equivariant intersection theory" (alg-geom/9603008). In particular, the sections on Riemann-Roch and localization are omitted. They will appear in separate papers, at which time alg-geom/9603008 will become obsolete. We have intsead added a section of examples, and have include a calculation of the integral Chow ring of the mdouli stack of elliptic curves.

研究动机与目标

• 为具有线性代数群作用的代数空间发展一种稳健的等变交点理论，解决基于不变子簇的先前定义的局限性。
• 通过Totaro用表示的开子集逼近$EG$的方法构造等变Chow群，实现同伦不变性与交点积。
• 建立有理等变Chow群与商代数空间及栈的Chow群之间的同构，将结果推广至任意特征。
• 为计算模栈（如$\mathcal{M}_{1,1}$和$\overline{\mathcal{M}}_{1,1}$）的Chow环提供一个框架，并证明Mumford关于$\mathcal{M}_{1,1}$的Picard群的结果。
• 证明等变Chow群在所有次数上定义了光滑商栈的整数交点环，且与栈的表示无关。

提出的方法

• 将等变Chow群$A^G_*(X)$定义为$X \times V$上不变子簇的等价类，其中$V$是$G$的表示，且$G$-不变开子集具有高余维数。
• 利用Totaro通过表示的极限构造$EG$的方法，将等变类建模为$X \times V$上的子簇，其中$V$的选择使得$V - U$具有高余维数。
• 建立等变Chow群的函子性、陈类与外积，确保与标准交点理论相容。
• 证明当$G$作用在$X$上是正规时，有$A^G_{i+\dim G}(X) \otimes \mathbb{Q} \cong A_i(X/G) \otimes \mathbb{Q}$，且当稳定子群平凡时，无需$\mathbb{Q}$张量即有同构。
• 证明等变Chow群仅依赖于商栈$[X/G]$，而与商的表示方式无关；当$X$光滑时，$A^*_G(X)$即为$[X/G]$的整数Chow环。
• 利用该同构证明在任意特征下，商的有理Chow群上存在交点积，且无需要求稳定子群为约化形式。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否以一种支持交点积与同伦不变性的方法定义等变Chow群，从而克服基于不变子簇的先前定义的局限性？
• RQ2 对于正规群作用，是否存在有理等变Chow群与商代数空间Chow群之间的自然同构？
• RQ3 光滑商栈的等变Chow环能否被识别为整数Chow环，且是否与文献中已有的有理构造一致？
• RQ4 等变方法是否能将Gillet与Vistoli的交点理论推广至正特征，且无需要求稳定子群为约化形式？
• RQ5 能否利用等变方法计算椭圆曲线模栈$\mathcal{M}_{1,1}$及其紧化$\overline{\mathcal{M}}_{1,1}$的整数Chow环？

主要发现

• 对于$X$上的正规$G$-作用，存在自然同构$A^G_{i+\dim G}(X) \otimes \mathbb{Q} \cong A_i(X/G) \otimes \mathbb{Q}$，当稳定子群平凡时，该同构为整数同构。
• 等变Chow群$A^G_*(X)$仅依赖于栈$[X/G]$，而与商的表示方式无关。
• 当$X$光滑时，$A^1_G(X)$同构于Mumford的栈$[X/G]$的Picard群，且$A^*_G(X)$即为$[X/G]$的整数Chow环。
• 该理论在$X$光滑时为$A^*_G(X)$提供了交点积，通过商同构，这意味着在任意特征下，商的有理Chow群上存在交点积。
• 该方法为Mumford的结果$\operatorname{Pic}_{\text{fun}}(\mathcal{M}_{1,1}) = \mathbb{Z}/12\mathbb{Z}$提供了简洁证明，并计算了$\mathcal{M}_{1,1}$与$\overline{\mathcal{M}}_{1,1}$的整数Chow环。
• 该方法避免了在特征$p$下对稳定子群为约化形式的要求，将Gillet与Vistoli的结果从特征零推广至任意特征。