[论文解读] Equivariant K-theory of finite dimensional real vector spaces

Siegfried Echterhoff, Oliver Pfante|ArXiv.org|Mar 5, 2009

Advanced Operator Algebra Research参考文献 6被引用 7

一句话总结

本文通过群的双重覆盖的表示理论，为具有紧致群作用的有限维实向量空间的等变复K-理论建立了一般公式。结果表明，K-理论群由在共轭作用下负表示的轨道决定，对O(n)和有限群等情形进行了显式计算，恢复了已知结果，并将结果推广至保向作用之外的情形。

ABSTRACT

We give a general formula for the equivariant complex $K$-theory $K_G^*(V)$ of a finite dimensional real linear space $V$ equipped with a linear action of a compact group $G$ in terms of the representation theory of a certain double cover of $G$. Using this general formula, we give explicit computations in various interesting special cases. In particular, as an application we obtain explicit formulas for the $K$-theory of $C_r^*(GL(n,\RR))$, the reduced group C*-algebra of $GL(n,\RR)$.

研究动机与目标

• 为具有紧致群G作用的有限维实向量空间V的等变K-理论$ K_G^*(V) $提供一个一般公式。
• 将经典的等变Bott周期性结果推广至不保向作用的情形，其中Stiefel-Whitney类会阻碍提升至$ \mathrm{Spin}(V) $。
• 通过其最大紧致子群在切空间上的作用，计算几乎连通群H的$ K_*(C_r^*(H)) $。
• 解决非保向作用情形下$ K_G^*(V) $的结构，此时K-理论在模2意义下可能不集中于单一度数。
• 恢复并推广对对称群和正交群的显式公式，包括$ \mathrm{O}(n) $在$ \mathbb{R}^n $上的作用。

提出的方法

• 使用Kasparov的$ \mathrm{KK}^G $-理论版本的等变Bott周期性，将$ C_0(V) $与Clifford代数$ \mathrm{C}l(V) $联系起来。
• 通过Green-Julg定理，将问题约化为计算$ \mathrm{KK}(\mathbb{C}, \mathrm{C}l(V) \rtimes G) $。
• 通过与作用$ \rho: G \to \mathrm{O}(V) $相关的Pin群$ \mathrm{Pin}(V) $，构造一个中心扩张$ G_\rho \to G $。
• 将子群$ K_\rho \subseteq G_\rho $定义为$ \mathrm{SO}(V) $的原像，其为指数为1或2的正规子群。
• 通过$ \mathbb{Z}_2 \subseteq G_\rho $中元素$ -1 $的作用，对$ K_\rho $的不可约表示进行正负类型的分类。
• 分析$ \widehat{K}_\rho^{-} $中负表示的共轭轨道，以确定$ K_G^*(V) $的结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 当群作用在V上不保向时，等变K-理论$ K_G^*(V) $的行为如何，特别是当作用无法提升至$ \mathrm{Spin}(V) $时？
• RQ2 对于紧致群G线性作用在有限维实向量空间V上的情形，$ K_G^*(V) $的一般代数结构是什么？
• RQ3 如何利用最大紧致子群在切空间上的作用，计算几乎连通群H的$ C_r^*(H) $的K-理论？
• RQ4 通过Pin群构造的G的双重覆盖$ G_\rho $在确定V的K-理论中起什么作用？
• RQ5 如何通过$ K_\rho $的负表示的共轭轨道来分类K-理论群$ K_0^G(V) $和$ K_1^G(V) $？

主要发现

• 当$ \mathrm{O}(n) $作用在$ \mathbb{R}^n $上时，$ K_{\mathrm{O}(n)}^1(\mathbb{R}^n) = \{0\} $，且当$ n > 1 $时$ K_{\mathrm{O}(n)}^0(\mathbb{R}^n) \cong \bigoplus_{n \in \mathbb{N}} \mathbb{Z} $，而当$ n = 1 $时$ K^0 \cong \mathbb{Z} $。
• 当$ \rho(G) \subseteq \mathrm{SO}(V) $时，$ K_0^G(V) \cong \bigoplus_{[\tau] \in \widehat{G}_\rho^{-}} \mathbb{Z} $且$ K_1^G(V) = \{0\} $，这推广了经典的Bott周期性结果。
• 当$ \rho(G) \not\subseteq \mathrm{SO}(V) $时，$ K_0^G(V) \cong \bigoplus_{[\tau] \in \mathcal{O}_2} \mathbb{Z} $且$ K_1^G(V) \cong \bigoplus_{[\tau] \in \mathcal{O}_1} \mathbb{Z} $，其中$ \mathcal{O}_1 $和$ \mathcal{O}_2 $分别是$ K_\rho $的负表示在长度为1和2的共轭轨道的集合。
• 当$ n = 2m \geq 4 $时，$ \mathrm{Spin}(n) $的表示$ \Sigma^\pm $在$ \mathrm{Pin}(n) $作用下形成一个长度为2的单个轨道，且$ \mathrm{Pin}(n) \setminus \mathrm{Spin}(n) $中的元素不共轭固定$ \mathrm{Spin}(n) $的任何负表示。
• $ \mathrm{Spin}(n) $的情形下，集合$ \mathcal{O}_1 $为空，而$ \mathcal{O}_2 $为可数无穷；而$ \mathrm{SO}(n) $在$ \mathrm{O}(n) $作用下，$ \mathcal{O}_1 $和$ \mathcal{O}_2 $均为可数无穷。
• $ C_r^*(\mathrm{GL}(n,\mathbb{R})) $的K-理论通过$ \mathrm{O}(n) $在$ \mathbb{R}^n $上的作用，利用$ K_G^*(V) $的一般公式显式计算得出。