[论文解读] Equivariant local coefficients and the RO(G)-graded cohomology of classifying spaces

Megan Elizabeth Shulman|arXiv (Cornell University)|May 7, 2014

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 17被引用 17

一句话总结

本文为带有局部系数的RO(G)-分次Bredon上同调发展了等变谱序列，将经典的Serre谱序列技术扩展至等变设置。它纠正了Lewis（1988）关于复射影空间上同调的有缺陷的证明，并应用新的谱序列计算了分类空间 $B_{C_p}O(2)$ 的RO(C_p)-分次上同调，完整描述了其作为 $\mathbb{Z}[p_1, \alpha, \beta]/(2\alpha=0, 2\beta=0, \beta^2 = p_1\alpha)$ 上的分次代数的乘法结构。

ABSTRACT

This thesis consists of two main parts. In the second part, we recall how a description of local coefficients that Eilenberg introduced in the 1940s leads to spectral sequences for the computation of homology and cohomology with local coefficients. We then show how to construct new equivariant analogues of these spectral sequences for RO(G)-graded Bredon homology and cohomology. Finally, we use these spectral sequences to complete a sample calculation, in which we use the equivariant Serre spectral sequence and the equivariant cohomology of complex projective spaces to compute the cohomology of the equivariant classifying space B_Cp O(2). However, to complete this sample computation, we need to know the cohomology of complex projective space. This calculation was done in a 1988 paper by Gaunce Lewis, but relies on a theorem whose proof as given was incorrect. We spend the first part of this thesis providing a correct proof and summarizing the results of Lewis's paper.

研究动机与目标

• 为解决RO(G)-分次Bredon上同调中基础计算的匮乏，特别是针对 $G = C_p$ 的情形。
• 纠正Lewis（1988）关于复射影空间等变上同调的错误引理。
• 为RO(G)-分次Bredon上同调构造并应用带有局部系数的等变Serre谱序列。
• 使用这些工具计算 $B_{C_p}O(2)$ 的RO(C_p)-分次上同调。
• 建立所得上同调环的乘法结构。

提出的方法

• 将Eilenberg关于局部系数的框架适配至等变设置，使RO(G)-分次Bredon上同调中能够使用谱序列。
• 利用Mackey函子值系数和方框积，构造Serre谱序列的等变类比。
• 以 $\mathbb{C}P(\mathcal{U}_\mathbb{C}) = B_{C_p}SO(2)$ 的等变上同调作为输入，通过新证明Lewis的关键引理加以修正。
• 将谱序列应用于纤维化 $B_{C_p}O(2) \to B_{C_p}\mathbb{Z}/2$，其纤维为 $B_{C_p}SO(2)$，通过 $\operatorname{Ext}$ 群在 $\mathbb{Z}[\mathbb{Z}/2]$ 上计算 $E_2$ 页。
• 利用莱布尼茨法则和挠元分析研究微分和扩张问题，最终在 $E_\infty$ 页确定谱序列。
• 通过谱序列导出的生成元与关系，识别最终上同调环的乘法结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将局部系数系统推广至等变上同调中的RO(G)-分次设置？
• RQ2 Lewis（1988）关于 $B_{C_p}SO(2)$ 上同调的关键引理的正确证明是什么？
• RQ3 如何将Serre谱序列适配以计算带有局部系数的RO(G)-分次Bredon上同调？
• RQ4 $H^*_{C_p}(B_{C_p}O(2); \mathbb{Z})$ 的乘法结构是什么？
• RQ5 谱序列中的扩张问题与微分如何影响最终的上同调环？

主要发现

• 以 $\mathbb{Z}$ 为系数的 $B_{C_p}O(2)$ 的上同调计算结果为 $H^*_{C_p}(B_{C_p}O(2); \mathbb{Z}) \cong \mathbb{Z}[p_1, \alpha, \beta]/(2\alpha = 0, 2\beta = 0, \beta^2 = p_1\alpha)$，这是 $\mathbb{Z}$ 上的分次代数。
• 谱序列在 $E_2$ 页崩溃，除 $d_3$ 外所有微分均因维数约束而消失。
• $H^2 \cong \mathbb{Z}/2$ 由 $\alpha$ 生成，$H^3 \cong \mathbb{Z}/2$ 由 $\beta$ 生成，$H^4 \cong \mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/2$，其中 $\mathbb{Z}$ 分量由 $p_1$ 生成。
• 由于 $\mathbb{Z}$ 的投影性，$H^4$ 的扩张问题可分裂，从而实现直接和分解。
• 通过适当的生成元替换，关系 $\alpha p_1 = \beta^2$ 得到满足，确保与谱序列过滤的一致性。
• 最终上同调环的结构完全由 $E_2$ 页、谱序列的崩溃以及扩张问题的解决所决定。