[论文解读] Equivariant monads and equivariant lifts versus a 2-category of distributive laws

Zoran Škoda|ArXiv.org|Jul 11, 2007

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 7被引用 3

一句话总结

本文建立了C-actegory中等变单子与非严格等变函子之间2-范畴的同构，以及一个分配律2-范畴之间的同构，推广了Beck的经典双射。它表明带有C作用的单子对应于单子与分配律的配对，其中高阶相干性结构由多边形图式取代，并将理论扩展至伪代数之间的相对分配律。

ABSTRACT

Fix a monoidal category C. The 2-category of monads in the 2-category of C-actegories, colax C-equivarant functors, and C-equivariant natural transformations of colax functors, may be recast in terms of pairs consisting of a usual monad and a distributive law between the monad and the action of C, morphisms of monads respecting the distributive law, and transformations of monads satisfying some compatibility with the actions and distributive laws involved. The monads in this picture may be generalized to actions of monoidal categories, and actions of PRO-s in particular. If C is a PRO as well, then in special cases one gets various distributive laws of a given classical type, for example between a comonad and an endofunctor or between a monad and a comonad. The usual pentagons are in general replaced by multigons, and there are also ``mixed'' multigons involving two distinct distributive laws. Beck's bijection between the distributive laws and lifts of one monad to the Eilenberg-Moore category of another monad is here extended to an isomorphism of 2-categories. The lifts of maps of above mentioned pairs are colax C-equivariant. We finish with a short treatment of relative distributive laws between two pseudoalgebra structures which are relative with respect to the distributivity of two pseudomonads involved, what gives a hint toward the generalizations.

研究动机与目标

• 将Beck关于分配律与单子提升之间经典双射推广为2-范畴同构。
• 通过单子与张量作用之间的分配律，重新表述C-actegory中单子的2-范畴。
• 将理论扩展至PRO作用与伪代数，包括相对分配律。
• 为具有多边形相干条件（而非五边形）的高阶分配律提供范畴框架。
• 通过非严格C-等变函子与相容自然变换的形式化，形式化单子的等变提升。

提出的方法

• 将C-actegory定义为配备有单余范畴C的协调左作用的范畴。
• 通过满足与作用同构相容性的自然变换ζ: F(C ⋄ M) ⇒ C ⋄ F(M)，在C-actegory之间引入非严格C-等变函子。
• 构建C-actegory、非严格C-等变函子与C-等变自然变换的严格2-范畴C-act^c。
• 将此2-范畴中的单子表示为配对(T, λ)，其中T为单子，λ为T与C作用之间的分配律。
• 使用多边形粘贴图式（推广Beck的五边形）来编码伪代数之间分配律的相干性。
• 通过CD与DC之间的一个典范可逆伪分配律can: CD ⇒ DC，定义伪代数之间的相对分配律。

实验结果

研究问题

• RQ1 Beck关于分配律与单子提升之间的双射如何推广为2-范畴同构？
• RQ2 C-actegory中单子的2-范畴结构为何？如何通过分配律描述？
• RQ3 等变单子的相干条件如何从五边形推广为高阶分配律中的多边形？
• RQ4 典范伪分配律can: CD ⇒ DC在定义伪代数之间相对分配律中的作用是什么？
• RQ5 非严格C-等变函子与变换如何编码单子的等变提升？

主要发现

• C-actegory中单子的2-范畴与单子和C作用之间分配律的2-范畴同构。
• 经典Beck双射被推广为2-范畴同构，单子的提升由非严格C-等变函子实现。
• 分配律的相干性由多边形图式而非五边形控制，反映了更高范畴结构。
• 该理论可推广至PRO作用，包括单子与余单子之间的经典分配律。
• 伪代数之间的相对分配律通过一个典范伪分配律can: CD ⇒ DC定义，其粘贴图式包含非平凡2-胞状。
• 罐头恒等式及其他分配律的相干恒等式通过嵌入更高阶相干胞状的粘贴图式表达。