[论文解读] Equivariant Motivic Homotopy Theory

Philip Herrmann|arXiv (Cornell University)|Dec 1, 2013

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 10被引用 8

一句话总结

本文在等变 motivic 同伦论中引入了一种新的固定点 Nisnevich 拓扑，使得通过所有子群的固定点函子能够检测等变弱同构。它证明了 A¹-局部弱同构可通过其在固定点上的行为来表征，并证明了在该拓扑下，等变代数 K-理论不满足下降性质——这与在等变 Nisnevich 拓扑下的结果形成对比。

ABSTRACT

In this paper we study a model structure on a category of schemes with a group action and the resulting unstable and stable equivariant motivic homotopy theories. The new model structure introduced here samples a comparison to the one by Voevodsky and Hu-Kriz-Ormsby. We show that it allows to detect equivariant motivic weak equivalences on fixed points and how this property leads to a topologically convenient behavior of stable equivalences. We also prove a negative result concerning descent for equivariant algebraic K-theory.

研究动机与目标

• 基于一种新的固定点 Nisnevich 拓扑，为等变 motivic 同伦论开发一种新的模型结构。
• 通过所有子群 H ≤ G 的固定点行为来表征等变弱同构。
• 研究由此产生的稳定等变 motivic 同伦论的稳定性性质。
• 确定等变代数 K-理论在新拓扑下是否满足下降性质。
• 将新拓扑与现有拓扑进行比较，特别是与等变 Nisnevich 拓扑和等变同构拓扑进行比较。

提出的方法

• 在 G-概形上引入一个新的 Grothendieck 拓扑，即 H-Nisnevich（或固定点 Nisnevich）拓扑，其中一个态射是覆盖当且仅当其固定点构成一个 Nisnevich 覆盖。
• 证明在 G-光滑概形上的单纯预层中，一个态射是局部弱同构当且仅当其对所有 H ≤ G 的固定点都是局部弱同构。
• 通过与固定点函子相容的 Bousfield 局部化，证明 A¹-局部弱同构可通过固定点来检测。
• 为真正的 G-谱构造 Lewis-May 固定点和几何固定点的 motivic 类比。
• 使用同伦极限和 Cech 下降技术分析等变 K-理论及其不满足下降性质的原因。
• 应用 Merkurjev 等人关于扭子和伽罗瓦扩张的等变 K-理论结果，推导出下降假设下的矛盾。

实验结果

研究问题

• RQ1 固定点 Nisnevich 拓扑是否允许通过所有子群 H ≤ G 的固定点函子来检测等变弱同构？
• RQ2 在不稳定等变 motivic 同伦范畴中，A¹-局部弱同构能否通过其固定点行为来表征？
• RQ3 motivic 固定点函子和几何固定点函子是否能检测稳定等变 motivic 范畴中的稳定弱同构？
• RQ4 等变代数 K-理论在 H-Nisnevich 拓扑下是否满足下降性质？
• RQ5 H-Nisnevich 拓扑在下降性质方面与等变 Nisnevich 拓扑和等变同构拓扑相比如何？

主要发现

• 在 sPre(GSm/k) 中，一个态射 f 是 A¹-局部弱同构当且仅当对所有子群 H ≤ G，f^H 是 sPre(Sm/k) 中的 A¹-局部弱同构。
• 固定点 Nisnevich 拓扑允许通过固定点来检测等变局部弱同构，为稳定同构提供了拓扑上便利的框架。
• motivic 固定点函子和几何固定点函子能检测等变稳定弱同构，将经典结果推广至 motivic 设置。
• 等变代数 K-理论在 H-Nisnevich 拓扑下不满足下降性质，这是由 K^et(Spec(R)) 中的 Brauer 群扭子导致的矛盾所证明。
• 相同的反例也否定了 Serpé (2010) 关于等变同构下降的主要结论，表明等变同构 Nisnevich 覆盖并不意味着 K-理论的下降性质。
• 下降失败的原因在于 Brauer 群中存在非平凡的 l-挠子，这通过下降谱序列和 Cech 神经上的同伦极限被检测到。