[论文解读] Equivariant nonabelian Poincaré duality and equivariant factorization homology of Thom spectra

Jeremy Hahn, Asaf Horev+3 more|arXiv (Cornell University)|Jun 23, 2020

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 30被引用 5

一句话总结

本文建立了一個等變非交換 Poincaré duality 定理，將 $G$-空間的等變因子化同調實現為映射空間，從而實現了對 Thom 譜的等變因子化同調的計算。本文計算了 $MU_{ℝ}$、$H\underline{\mathbb{F}}_2$、$H\underline{\mathbb{Z}}_{(2)}$ 和 $H\underline{\mathbb{Z}}$ 的實數拓撲霍奇-霍爾姆同調（THR），並表明 $\operatorname{THR}(H\underline{\mathbb{Z}})$ 在 $RO(C_2)$-分次下可分解為 $H\underline{\mathbb{Z}}$ 和移位的 $H\underline{\mathbb{Z}/k}$-模的直和。

ABSTRACT

In this paper, we study genuine equivariant factorization homology and its interaction with equivariant Thom spectra, which we construct using the language of parametrized higher category theory. We describe the genuine equivariant factorization homology of Thom spectra, and use this description to compute several examples of interest. A key ingredient for our computations is an equivariant nonabelian Poincaré duality theorem, in which we prove that factorization homology with coefficients in a $G$-space is given by a mapping space. We compute the Real topological Hochschild homology ($THR$) of the Real bordism spectrum $MU_\mathbb{R}$ and of the equivariant Eilenberg--MacLane spectra $H\underline{\mathbb{F}}_2$ and $H\underline{\mathbb{Z}}_{(2)}$, as well as factorization homology of the sphere $S^{2σ}$ with coefficients in these Eilenberg--MacLane spectra. In Appendix B, Jeremy Hahn and Dylan Wilson compute $THR(H\underline{\mathbb{Z}})$.

研究动机与目标

• 使用參數化高階範疇論發展真正的等變因子化同調框架。
• 建立等變非交換 Poincaré duality 定理，將因子化同調識別為映射空間。
• 計算關鍵等變譜（包括 $MU_{\mathbb{R}}$、$H\underline{\mathbb{F}}_2$、$H\underline{\mathbb{Z}}_{(2)}$ 和 $H\underline{\mathbb{Z}}$）的實數拓撲霍奇-霍爾姆同調（THR）。
• 描述參數化 $\infty$-範疇設定下，等變 Thom 譜與因子化同調之間的互動，透過 $G$-Thom 譜函子實現。

提出的方法

• 使用參數化高階範疇論，將真正的等變因子化同調定義為 $V$-框架 $G$-流形的同調理論。
• 應用等變 Atiyah duality 與等變 Poincaré duality，證明具有 $G$-空間係數的因子化同調由映射空間給出。
• 在參數化 $\infty$-範疇中，透過上極限構造等變 Thom 譜函子，推廣 Ando-Blumberg-Gepner-Hopkins-Rezk 模型。
• 使用 $G$-對稱張量結構與 Day convolution，處理 $\mathbb{E}_V$-代數與 $V$-重迴圈空間。
• 利用 James 分解與 $RO(G)$-分次同倫計算，分析 $\operatorname{THR}(H\underline{\mathbb{Z}})$ 及其局部化。
• 依賴包含 $2$-局部化與有理化的一個上拉方陣，將 $\operatorname{THR}(H\underline{\mathbb{Z}})$ 分解為 $RO(C_2)$-分次下的直和項。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何使用參數化高階範疇論，對 $G$-流形的等變因子化同調進行公理化與計算？
• RQ2 在等變設定下，等變因子化同調與映射空間之間的精確關係為何？
• RQ3 如何明確計算 $\operatorname{THR}(MU_{\mathbb{R}})$、$\operatorname{THR}(H\underline{\mathbb{F}}_2)$ 與 $\operatorname{THR}(H\underline{\mathbb{Z}}_{(2)})$？
• RQ4 $G$-Thom 譜函子如何與因子化同調互動？其結構性質為何？
• RQ5 $\operatorname{THR}(H\underline{\mathbb{Z}})$ 的 $RO(C_2)$-分次分解為何？

主要发现

• $H\underline{\mathbb{Z}}$ 的實數拓撲霍奇-霍爾姆同調被計算為 $RO(C_2)$-分次下 $H\underline{\mathbb{Z}}$ 和移位的 $H\underline{\mathbb{Z}/k}$-模的直和。
• $\operatorname{THR}(H\underline{\mathbb{Z}})$ 的 $2$-局部化被識別為兩個 $\Sigma^{k\rho}H\underline{\mathbb{Z}}_{(2)}$-模直和之間的映射的纖。
• $\operatorname{THR}(H\underline{\mathbb{Z}})$ 的計算被分解為一個包含 $H\underline{\mathbb{Z}}[1/2]$、$H\underline{\mathbb{Z}}_{(2)}$ 和 $H\underline{\mathbb{Q}}$ 的上拉方陣，各個分量均有明確的直和項。
• $H\underline{\mathbb{F}}_2$ 的 $\operatorname{THR}$ 透過相同框架計算，其結果符合 $RO(C_2)$-分次下直和項的一般模式。
• $MU_{\mathbb{R}}$ 的 $\operatorname{THR}$ 透過等變非交換 Poincaré duality 及 $C_2$-等變 Thom 譜的結構進行計算。
• $H\underline{\mathbb{Z}}_{(2)}$ 的 $\operatorname{THR}$ 被證明等價於 $H\underline{\mathbb{Z}}_{(2)} \otimes \Sigma^\infty_+ \Omega^\sigma S^{\lambda+1}\langle\lambda+1\rangle$，並作為兩個 $\Sigma^{k\rho}H\underline{\mathbb{Z}}_{(2)}$-模直和之間映射的纖計算得出。