[论文解读] Equivariant Quantum Graph Circuits

Ákos Péter Mernyei, Konstantinos Meichanetzidis+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 10, 2021

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 10

一句话总结

本文提出了等变量子图电路（EQGCs），一种针对图结构数据具有强关系归纳偏置的参数化量子电路类。证明了如EH-QGCs和EDU-QGCs等子类是有限图上函数的通用逼近器，展示了其在表达能力上优于经典图神经网络（GNNs），且无梯度消失问题，表现出稳健性能。

ABSTRACT

We investigate quantum circuits for graph representation learning, and propose equivariant quantum graph circuits (EQGCs), as a class of parameterized quantum circuits with strong relational inductive bias for learning over graph-structured data. Conceptually, EQGCs serve as a unifying framework for quantum graph representation learning, allowing us to define several interesting subclasses which subsume existing proposals. In terms of the representation power, we prove that the studied subclasses of EQGCs are universal approximators for functions over the bounded graph domain. This theoretical perspective on quantum graph machine learning methods opens many directions for further work, and could lead to models with capabilities beyond those of classical approaches. We empirically verify the expressive power of EQGCs through a dedicated experiment on synthetic data, and additionally observe that the performance of EQGCs scales well with the depth of the model and does not suffer from barren plateu issues.

研究动机与目标

• 开发一个统一的量子图表示学习框架，为图结构数据提供强归纳偏置。
• 定义并表征尊重图对称性的等变量子电路，确保在节点重标记下保持置换等变性。
• 证明关键EQGC子类在有限图上的通用逼近能力，确立其相对于经典模型的理论优越性。
• 通过实验验证EQGCs在合成数据上的表达能力，展示其能够区分标准消息传递图神经网络（MPNNs）无法区分的图对。
• 展示EQGCs在电路深度增加时的可扩展性，并证明其不存在梯度消失问题。

提出的方法

• 提出等变量子图电路（EQGCs）作为量子图学习的一般框架，确保在节点置换下保持等变性。
• 引入两个关键子类：等变哈密顿量QGCs（EH-QGCs）和等变对角化酉QGCs（EDU-QGCs），统一了现有方案。
• 通过理论证明EDU-QGCs对应于增强随机节点特征的MPNNs——已在有限图上被证明为通用逼近器。
• 采用张量积希尔伯特空间表示，每个节点对应一个量子比特，将图态编码在$\mathbb{C}^{2^n}$中，并应用置换等变酉操作。
• 运用群论推理表征等变酉空间的维度，表明随着$n$增加，其表达能力无界增长。
• 使用合成图数据集测试非同构图的可区分性，与经典MPNNs进行比较。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否设计出尊重图结构数据固有置换对称性的参数化量子电路？
• RQ2 EQGCs的特定子类是否能在有限图上实现函数的通用逼近？
• RQ3 EQGCs的表达能力与经典图神经网络（特别是MPNNs）相比如何？
• RQ4 随着电路深度增加，EQGCs的性能是否会因梯度消失而退化？
• RQ5 EQGCs能否区分标准MPNNs无法区分的图对？

主要发现

• EDU-QGCs和EH-QGCs已被证明是有限图域上函数的通用逼近器，确立了理论上的通用性。
• EQGCs的表达能力超越标准MPNNs，其能力体现在能够区分MPNNs无法辨别的图对。
• EQGCs在深度增加时表现出良好可扩展性，且无梯度消失问题，表明训练动力学稳定。
• 即使每个节点仅使用一个量子比特，等变酉空间的维度也随$n$无界增长，表明其具有高度表达能力。
• 推导出$\textsf{EU}_{2}^{n,+}$维度的闭式表达式为$\frac{1}{6}n(n+1)(n+5)$，证实其表达能力无界。
• 该框架提供统一视角，涵盖并推广了现有量子图学习方案。