[论文解读] Equivariant resolution of singularities in characteristic 0

Dan Abramovich, Jianhua Wang|ArXiv.org|Sep 16, 1996

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 4被引用 21

一句话总结

本文利用 торическая几何和群作用，提出了一种在特征0下等变解析奇异性的新证明。通过结合标准解析的存在性与通过重心剖分及序函数实现的 $G$-等变 торическая解析，作者构造了一个 $G$-等变修改，该修改在保持法向交叉除子的同时解析了奇异点，从而为有限群作用在代数簇上的情况实现了典范的、射影的解析。

ABSTRACT

A new proof of equivariant resolution of singularities under a finite group action in characteristic 0 is provided. We assume we know how to resolve singularities without group action. We first prove equivariant resolution of toroidal singularities. Then we reduce the general case to the toroidal case.

研究动机与目标

• 提供一种使用 торическая 方法的新证明，以证明 Hironaka 的特征0下等变解析定理。
• 建立有限群作用在严格 торическая 嵌入上的 $G$-等变 торическая 解析的存在性。
• 构造一个 $G$-等变的、射影的代数簇修改，使得奇异点的原像成为 $G$-严格法向交叉除子。
• 将 торическая 嵌入理论扩展到等变设置，证明 $G$-作用在 торическая 嵌入上诱导出良好行为的商与剖分。

提出的方法

• 使用与严格 торическая 嵌入相关的锥形多面体复形的重心剖分，以确保单形且指标为1的锥。
• 通过从商复形 $B(\Delta)/G$ 提升一个正序函数，在重心剖分上构造一个 $G$-等变序函数。
• 应用 [KKMS] 中的定理 1.1，将序函数关联到一个相干理想层，从而诱导一个标准化的爆破。
• 证明所得爆破是非奇异的且 $G$-严格，且 $G$ 在所得代数簇上以 торическое 方式作用。
• 利用商复形 $X/G$ 将问题简化为在商空间中解析奇异点，然后通过正规化回传。
• 利用 $G$-严格性与 торическое 作用在商与爆破运算下保持不变的事实。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过 торическая 几何与群作用实现特征0下的等变奇异点解析？
• RQ2 有限群作用在严格 торическая 嵌入上时，是否存在 $G$-等变 торическая 解析？
• RQ3 能否构造一个 $G$-等变的、射影的修改，使得奇异点的原像为 $G$-严格法向交叉除子？
• RQ4 有限群作用下，$G$-等变 торическая 嵌入的商是否仍为严格 торическая 嵌入？

主要发现

• 存在一个 $G$-等变的、射影的修改 $X_1 \to X$，使得 $X_1$ 非奇异，且 $r^{-1}(Z_{\text{red}})$ 为 $G$-严格法向交叉除子。
• 在锥形多面体复形的重心剖分上存在 $G$-等变序函数，确保得到一个非奇异的、$G$-严格的 торic 爆破。
• $G$-严格 торic 嵌入的商 $X/G$ 仍为严格 торic 嵌入，且在有限群作用下保持了 торic 结构。
• 该方法通过按格点上典范坐标字典序逐次剖分锥，构造出典范的、射影的解析。
• 由序函数诱导的爆破既是射影的，也是 $G$-等变的，所得代数簇非奇异且 $G$-严格。