[论文解读] Equivariant Satake category and Kostant-Whittaker reduction

Roman Bezrukavnikov, Michael Finkelberg|ArXiv.org|Jul 25, 2007

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 6被引用 20

一句话总结

本文建立了仿射格拉斯曼ian的环路旋转等变导出萨塔克范畴与李李代数的朗兰兹对偶的哈里什-钱德拉双模之间的等价性，将整体上同调与科斯塔nt-惠特克约化联系起来。它通过利用纯度和等变上同调技术构造的张量函子，证明了一个猜想，即仿射格拉斯曼ian的等变同调与量子化托达格系统之间存在联系。

ABSTRACT

We explain (following V. Drinfeld) how the equivariant derived category of the affine Grassmannian can be described in terms of coherent sheaves on the Langlands dual Lie algebra equivariant with respect to the adjoint action, due to some old results of V. Ginzburg. The global cohomology functor corresponds under this identification to restricti on to the Kostant slice. We extend this description to loop rotation equivariant derived category, linking it to Harish-Chandra bimodules for the Langlands dual Lie algebra, so that the global cohomology functor corresponds to the quantum Kostant-Whittaker reduction of a Harish-Chandra bimodule. We derive a conjecture from math.AG/0306413 which identifies the loop-rotation equivariant homology of the affine Grassmannian with quantized completed Toda lattice.

研究动机与目标

• 将几何萨塔克等价性扩展至仿射格拉斯曼ian的导出范畴中的环路旋转等变性。
• 以朗兰兹对偶李代数的哈里什-钱德拉双模来描述环路旋转等变导出萨塔克范畴。
• 在整体上同调函子与科斯塔nt-惠特克约化之间建立精确对应关系。
• 通过卷积结构证明一个猜想，即仿射格拉斯曼ian的整体等变同调与量子化托达格系统代数同构。
• 利用纯度和典范滤子，建立等变层与双模类别之间的张量等价。

提出的方法

• 利用金兹堡关于等变上同调和科斯塔nt函子的结果，将导出范畴与对偶李代数上的凝聚层联系起来。
• 从分次 $ \check{G} $-等变 $ U_\hbar $-模范畴构造一个张量函子，映射到仿射格拉斯曼ian的等变导出范畴。
• 利用IC层之间等变Ext群的纯度，确保函子在仿射格拉斯曼ian的各个层之间兼容。
• 应用科斯塔nt-惠特克约化函子，将整体上同调识别为李代数的勒维子代数的惠特克模。
• 利用等变上同调和科斯塔nt函子上的典范滤子，建立在勒维子群之间的兼容性。
• 依赖于同调等价和形式逆构造，将上同调中的代数结构提升到导出范畴。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在朗兰兹对偶侧用表示论对象描述环路旋转等变导出萨塔克范畴？
• RQ2 在具有环路旋转的仿射格拉斯曼ian背景下，整体上同调函子的精确代数解释是什么？
• RQ3 在此设定中，科斯塔nt-惠特克约化与IC层的整体上同调有何关系？
• RQ4 能否通过卷积将仿射格拉斯曼ian的等变同调与量子化托达格系统代数同构？
• RQ5 纯度和典范滤子在构造几何与代数范畴之间的张量等价中起什么作用？

主要发现

• 环路旋转等变导出萨塔克范畴与朗兰兹对偶李代数的哈里什-钱德拉双模范畴之间存在张量等价。
• IC层的整体上同调精确对应于哈里什-钱德拉双模的科斯塔nt-惠特克约化。
• 整体等变上同调代数 $ H^\bullet_{{\bf G_O} \rtimes \mathbb{G}_m}(\operatorname{Gr}) $ 同构于 $ \check{\mathfrak{g}} $ 的普遍包络代数中心的张量平方。
• 证明了[11]中的猜想：具有卷积结构的仿射格拉斯曼ian的等变同调同构于量子化托达格系统代数。
• 张量等价的构造依赖于等变Ext群的纯度以及在勒维子群之间典范滤子的兼容性。
• 科斯塔nt函子 $ \kappa_\hbar $ 诱导了一个从 $ \check{G} $-等变 $ U_\hbar $-模的导出范畴到 $ \operatorname{Gr} $ 的等变导出范畴的全忠实函子。