[论文解读] Equivariant special L-values of abelian t-modules

Jiangxue Fang|arXiv (Cornell University)|Mar 25, 2015

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 5被引用 10

一句话总结

本文為函數域上阿貝爾 t-模建立了等變特殊 L-值公式，提供了等變類數公式在函數域的類比。證明了伽羅瓦表示的 ∞-adic L-值源自 t-模李代數及其對偶的特徵多項式，並顯示 L(n, ρ) 與 L(C⊗n, ρ) 僅相差一個有理函數，且在譜系為非分歧或表示為投影時相等。

ABSTRACT

We prove a formula of the equivariant infinity-adic special L-values of abelian t-modules. This gives function field analogues of the equivariant class number formula. As an application, we calculate the special values of Artin L-functions for Galois representations.

研究动机与目标

• 發展函數域上阿貝爾 t-模的等變特殊 L-值理論，將古典數域結果推廣至正特徵。
• 利用 t-模及其李代數，建立等變類數公式在函數域的類比。
• 將伽羅瓦表示的 ∞-adic L-值與殘留域上 t-模結構的特徵多項式關聯起來。
• 證明 L(n, ρ) 與 L(C⊗n, ρ) 相等至多差一個有理函數，且在非分歧或投影表示下相等。

提出的方法

• 透過基環上最大理想的收斂無限乘積定義 ∞-adic L-值 L(n, ρ)，利用弗羅貝尼烏斯元素與殘留域擴張。
• 透過 Homk[G](V, E(OL/pOL)) 與 Homk[G](V, Lie(E)(OL/pOL)) 定義 t-模 L-值 L(C⊗n, ρ)，其中 E = C⊗n。
• 使用有限 k[t][G]-模 M 的特徵多項式 |M|k[t][G]，將 L-值與行列式公式關聯。
• 應用正規基定理與指數映射性質，將 L∞ 上的李代數與 t-模關聯。
• 使用跡映射 trρ: V ∗⊗k[G] OL → Homk[G](V, OL)，並分析其核與余核，以關聯 L(n, ρ) 與 L(C⊗n, ρ)。
• 應用定理 1.11 與引理 3.18，將複形的行列式關聯，並透過 F((t−1))[G] 中的格點比值推導主要公式。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用 t-模將等變類數公式推廣至函數域？
• RQ2 ∞-adic L-值 L(n, ρ) 與基於 t-模的 L-值 L(C⊗n, ρ) 之間的精確關係為何？
• RQ3 在何種條件下 L(n, ρ) 等於 L(C⊗n, ρ)，何時僅相差一個有理函數？
• RQ4 t-模與李代數結構的特徵多項式如何在正特徵下編碼 L-值？
• RQ5 非分歧譜系在兩種 L-值構造相等性中扮演何種角色？

主要发现

• 本文證明 L(n, ρ) = L(C⊗n, ρ) · |Lie(C⊗n)(M)|F[t] / |C⊗n(M)|F[t] · |C⊗n(N)|F[t] / |Lie(C⊗n)(N)|F[t]，其中 M 與 N 為跡映射 trρ 的核與余核。
• 在非分歧譜系或當 V 為 F[G]-模的投影模時，跡映射為同構，因此 L(n, ρ) = L(C⊗n, ρ)。
• 比值 L(n, ρ)/L(C⊗n, ρ) 屬於 F(t)×，顯示兩者 L-值僅相差一個有理函數。
• 特徵多項式 |Homk[G](V, E(OL/pOL))|F[t] / |Homk[G](V, Lie(E)(OL/pOL))|F[t] 等於 L-值 detF[[t−1]](1 − ρ(FrobP)/|κp|n k[t], VIP[[t−1]])−1。
• 對於卡爾茲模的 n 次張量冪，|C⊗n(OL/pOL)|k[t][G] = |κp|n k[t] − FrobP，且 |Lie(C⊗n)(OL/pOL)|k[t][G] = |κp|n k[t]。
• 主要公式為 L(n, ρ) = [Homk[G](V, Lie(C⊗n)(OL)) : Homk[G](V, exp−1(C⊗n(OL)))]F((t−1)) · |H(C⊗n, ρ)|F[t] · |Lie(C⊗n)(M)|F[t] / |C⊗n(M)|F[t] · |C⊗n(N)|F[t] / |Lie(C⊗n)(N)|F[t]。