[论文解读] Equivariant Spectral Sequences for Local Coefficients

Megan Guichard Shulman|arXiv (Cornell University)|May 3, 2010

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 7被引用 3

一句话总结

本文为计算带有局部系数的Bredon上同调，发展了等变谱序列，通过利用万有覆盖和群环作用，推广了Eilenberg的非等变谱序列。该方法被应用于计算$B_{C_p}O(2)$的等变上同调，表明其同构于$H^{*}_{C_p}(B_{C_p}SO(2);A)$中关于$\mathbb{Z}/2$-作用的不变子代数，由特定类$D_{2k}$、$D_{2k-1}C$和$C^2$生成。由于同调群的投射性，谱序列在$E_2$页崩溃且无扩张问题。

ABSTRACT

We recall how a description of local coefficients that Eilenberg introduced in the 1940s leads to spectral sequences for the computation of homology and cohomology with local coefficients. We then show how to construct new equivariant analogues of these spectral sequences and give a worked example of how to apply them in a computation involving the equivariant Serre spectral sequence. This paper contains some of the material in the author's Ph.D. thesis, which also discusses some results of L. Gaunce Lewis on the cohomology of complex projective spaces and corrects some flaws in his paper.

研究动机与目标

• 开发Eilenberg谱序列在局部系数下的等变类比，适用于同调与上同调。
• 解决在Serre谱序列应用中计算具有非平凡局部系统等变上同调时工具匮乏的问题。
• 纠正Lewis在复射影空间上同调研究中的缺陷，并为此类计算提供严谨框架。
• 通过详细计算$H^{*}_{C_p}(B_{C_p}O(2);A \otimes \mathbb{F}_q)$，展示该方法在等变Eilenberg谱序列中的应用。
• 证明Serre谱序列在$E_2$页崩溃且无扩张问题，原因在于$S^\infty$同调的投射性。

提出的方法

• 通过万有覆盖$\tilde{X}$和$R[\pi_1(X)]$-模结构，将Eilenberg对局部系数的定义推广至等变设置。
• 利用范畴$\Pi = \Pi_{C_p} B_{C_p} \mathbb{Z}/2$及$S^\infty$作为$\Pi$-模的同调，构造等变Eilenberg谱序列。
• 将谱序列应用于纤维丛$f: B_{C_p}O(2) \to B_{C_p}\mathbb{Z}/2$，使用局部系数系统$h_{C_p}^{V+t}(f;A)$。
• 利用$\mathcal{H}_*(S^\infty)$为0或$\underline{\mathbb{F}_q}$，且两者均为投射的事实，证明$\operatorname{Ext}^u$在$u > 0$时为零，从而推出谱序列在$E_2$页崩溃。
• 通过同调函子$\operatorname{Hom}_\Pi(\underline{\mathbb{F}_q}, \cdot)$，将$H^*_{C_p}(B_{C_p}O(2);A)$识别为$H^*_{C_p}(B_{C_p}SO(2);A)$在$\mathbb{Z}/2$-作用下的固定子代数。
• 证明Green函子$\underline{H}^*_{C_p}(B_{C_p}O(2))$是$\underline{H}^*_{C_p}(\mathbb{C}P(\mathcal{U}))$的子Green函子，其生成元为$D_{2k}$、$D_{2k-1}C$和$C^2$。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将Eilenberg的非等变局部系数谱序列推广至具有$C_p$-作用的等变设置？
• RQ2 在具有局部系数的等变Serre谱序列中，何种条件可确保其崩溃？如何避免扩张问题？
• RQ3 在$\mathbb{Z}/2$-作用下，$B_{C_p}O(2)$的上同调与$B_{C_p}SO(2)$的上同调有何关系？
• RQ4 Green函子$\underline{H}^*_{C_p}(B_{C_p}O(2))$在生成元与关系方面具有何种结构？
• RQ5 等变Eilenberg谱序列能否被用于显式计算$H^*_{C_p}(B_{C_p}O(2);A \otimes \mathbb{F}_q)$？

主要发现

• 等变Eilenberg谱序列在$E_2$页崩溃且无扩张问题，原因在于$\mathcal{H}_*(S^\infty)$作为$\Pi$-模是投射的。
• $E_2$页同构于$\operatorname{Hom}_\Pi(\mathcal{H}_*(S^\infty), h_{C_p}^{V+t}(f;A))$，由于$\operatorname{Ext}^u$在$u > 0$时消失，该表达式得以简化。
• $H^*_{C_p}(B_{C_p}O(2);A)$同构于$H^*_{C_p}(B_{C_p}SO(2);A)$中关于$\mathbb{Z}/2$-作用的固定子代数，即$H^*_{C_p}(B_{C_p}O(2);A) \cong H^*_{C_p}(B_{C_p}SO(2);A)^{\mathbb{Z}/2}$。
• Green函子$\underline{H}^*_{C_p}(B_{C_p}O(2))$是$\underline{H}^*_{C_p}(B_{C_p}SO(2))$的子Green函子，其生成元为$D_{2k}$、$D_{2k-1}C$和$C^2$。
• 计算结果确认，$H^*_{C_p}(B_{C_p}O(2);A \otimes \mathbb{F}_q)$由$H^*(\mathbb{C}P^\infty)$的非等变生成元$x$的偶次幂生成，并限制在$\mathbb{Z}/2$-固定部分。
• $\operatorname{Hom}_\Pi(\underline{\mathbb{F}_q}, \scr{N})$与$\scr{N}(C_p, x_0)^{\mathbb{Z}/2}$之间存在双射，从而可显式识别上同调为固定点。