[论文解读] Equivariant symplectic geometry of cotangent bundles, II

Dmitri A. Timashev|ArXiv.org|Feb 14, 2005

Advanced Algebra and Geometry参考文献 5被引用 3

一句话总结

本文将文伯格关于拟仿射代数簇余切丛的等变辛覆盖构造推广至任意光滑代数簇上作用的红裔群。利用一个改进的局部结构定理，构造了由退化旗胞丛余切丛导出的 $T^*X$ 的有理伽罗瓦覆盖，从而通过 $G$、$A$ 和 Weyl 群的辛作用实现不变集体运动的积分。

ABSTRACT

We examine the structure of the cotangent bundle $T^{*}X$ of an algebraic variety $X$ acted on by a reductive group $G$ from the viewpoint of equivariant symplectic geometry. In particular, we construct an equivariant symplectic covering of $T^{*}X$ by the cotangent bundle of a certain variety of horospheres in $X$, and integrate the invariant collective motion on $T^{*}X$. These results are based on a "local structure theorem" describing the action of a certain parabolic in $G$ on an open subset of $X$, which is interesting by itself.

研究动机与目标

• 将 文伯格 对 $T^*X$ 的有理伽罗瓦覆盖从拟仿射情形推广至任意光滑代数簇上红裔群作用的情形。
• 通过旗胞丛余切丛构造 $T^*X$ 的等变辛覆盖，即使在退化情形下亦成立。
• 在不假设非退化性的条件下，提供克诺普关于矩映射与一般位置稳定子结果的经典、非量子化证明。
• 通过提升至覆盖空间，利用 $A$ 和 Weyl 群的辛作用，实现 $T^*X$ 上不变集体运动的积分。
• 建立一个几何框架，将矩映射像、旗胞几何与 $T^*X$ 上可积哈密顿系统相联系。

提出的方法

• 发展一个改进的局部结构定理，描述抛物子群在 $X$ 的开子集上的作用，推广先前结果。
• 利用矩映射 $\Phi: T^*X \to \mathfrak{g}^*$ 及其在截面 $\Sigma$ 上的限制，分析辛结构。
• 通过群 $A = Z(M)/(Z(M) \cap L_0)$，利用旗胞丛余切丛构造 $\widehat{T}^{\mathrm{pr}}X \to T^{\mathrm{pr}}X$ 的辛覆盖。
• 在覆盖空间 $\widehat{T}^{\mathrm{pr}}X$ 上定义一个 $A$-作用，其斜梯度向量场集成不变集体运动。
• 在 $\widehat{T}^{\mathrm{pr}}X$ 上建立 $G \times (W_X \rtimes A)$ 的哈密顿作用，其矩映射为 $ (\widehat{\Phi}, \Pi) $，结合了 $G$-与 $A$-辛作用。
• 证明 $A$-作用是自由且辛的，其轨道对应于 $X$ 中的平面，且微分同构于 $A$。

实验结果

研究问题

• RQ1 文伯格对 $T^*X$ 的辛覆盖构造能否推广至拟仿射簇之外？
• RQ2 矩映射像与 $T^*X$ 上一般位置的稳定子如何与旗胞丛及抛物子群的几何相关联？
• RQ3 在不假设 $X$ 非退化的情况下，能否实现 $T^*X$ 上不变集体运动的积分？
• RQ4 Weyl 群与中心化子 $Z(M)$ 在辛覆盖与轨道结构中起什么作用？
• RQ5 在等变紧化中，一般平面的闭包如何与toric簇及等变嵌入理论相关联？

主要发现

• 本文通过退化旗胞丛余切丛，构造了 $\widehat{T}^{\mathrm{pr}}X \to T^{\mathrm{pr}}X$ 的等变辛有理伽罗瓦覆盖。
• $\widehat{T}^{\mathrm{pr}}X$ 上的 $A$-作用集成了不变集体运动，其轨道微分同构于 $A$，并对应于 $X$ 中的平面。
• $T^*X$ 的矩映射像通过截面 $\Sigma$ 描述，一般位置的稳定子由局部结构定理确定。
• $A$-作用是辛的，其矩映射 $\Pi$ 关于 $G$-不变，其斜梯度与 $\xi \in \mathfrak{a}$ 的速度场一致。
• $W_X \rtimes A$ 在 $\widehat{T}^{\mathrm{pr}}X$ 上作用辛，$G$、$A$ 与 $W_X$ 的联合作用构成具有矩映射 $ (\widehat{\Phi}, \Pi) $ 的哈密顿系统。
• 对一般 $\alpha \in \widehat{T}^{\mathrm{pr}}X$，不变集体运动的轨道为 $ (G_\mu)^\circ \alpha $，对应的平面 $F_\alpha \simeq A $。