[论文解读] Equivariant symplectic homology, linearized contact homology and the Lagrangian capacity

Miguel Pereira|arXiv (Cornell University)|May 26, 2022

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用 4

一句话总结

本文计算了四维凸 торических域的拉格朗日子容量，通过与 McDuff–Siegel 和 Gutt–Hutchings 的辛容量进行比较，证明其等于对角容量。在虚拟扰动假设下，利用等变辛同调与线性化接触同调，作者建立了椭球体内全纯曲线的横截性，从而在任意维数下对凸或凹的 toric 域实现了计算。

ABSTRACT

We establish computational results concerning the Lagrangian capacity from "Cieliebak and Mohnke - Punctured holomorphic curves and Lagrangian embeddings". More precisely, we show that the Lagrangian capacity of a 4-dimensional convex toric domain is equal to its diagonal. The proof involves comparisons between the Lagrangian capacity, the McDuff-Siegel capacities from "McDuff and Siegel - Symplectic capacities, unperturbed curves, and convex toric domains", and the Gutt-Hutchings capacities from "Gutt and Hutchings - Symplectic capacities from positive S1-equivariant symplectic homology". Working under the assumption that there is a suitable virtual perturbation scheme which defines the curve counts of linearized contact homology, we extend the previous result to toric domains which are convex or concave and of any dimension. For this, we use the higher symplectic capacities from "Siegel - Higher symplectic capacities". The key step is showing that moduli spaces of asymptotically cylindrical holomorphic curves in ellipsoids are transversely cut out.

研究动机与目标

• 计算四维凸 toric 域的拉格朗日子容量。
• 通过高级辛容量将计算扩展至高维凸或凹 toric 域。
• 建立椭球体内渐近柱状全纯曲线模空间的横截性。
• 通过不等式链将拉格朗日子容量与其它辛容量（McDuff–Siegel、Gutt–Hutchings）关联起来。
• 在虚拟扰动假设下，利用等变辛同调与线性化接触同调提供一个计算框架。

提出的方法

• 使用 Gutt–Hutchings 容量 $ c^{ ext{GH}}_k $ 以及通过作用与字长滤波定义的更高阶辛容量 $ ilde{rak{g}}^{ ext{≤1}}_k $、$ rak{g}^{ ext{≤1}}_k $。
• 通过作用滤波 $ rak{A}^{ ext{≤a}} $ 与字长滤波 $ rak{B}^{ ext{≤ℓ}} $ 定义来自线性化接触同调的容量。
• 利用等变辛同调分析具有 $ S^1 $-作用的辛流形中的全纯曲线。
• 依赖于虚拟扰动方案来定义线性化接触同调中的曲线计数，假设其存在。
• 证明椭球体内渐近柱状全纯曲线模空间的横截横截性。
• 通过容量之间的不等式链，推导出拉格朗日子容量为某些同调映射非零时的作用水平的下确界。

实验结果

研究问题

• RQ1 四维凸 toric 域的拉格朗日子容量是什么？
• RQ2 在辛几何中，拉格朗日子容量、McDuff–Siegel 容量与 Gutt–Hutchings 容量之间有何关系？
• RQ3 是否可以使用全纯曲线不变量计算高维凸或凹 toric 域的拉格朗日子容量？
• RQ4 在何种条件下，椭球体内的渐近柱状全纯曲线模空间是横截截取的？
• RQ5 拉格朗日子容量在多大程度上可通过线性化接触同调的谱不变量计算？

主要发现

• 四维凸 toric 域的拉格朗日子容量等于其对角容量。
• 在假设线性化接触同调存在虚拟扰动方案的前提下，该计算可推广至任意维数的凸或凹 toric 域。
• 已建立椭球体内渐近柱状全纯曲线模空间的横截性，这是关键技术步骤。
• 通过辛容量不等式链，证明拉格朗日子容量的上下界为同一值。
• 通过线性化接触同调上的滤波定义的高阶辛容量 $ rak{g}^{ ext{≤1}}_k $ 与 $ ilde{rak{g}}^{ ext{≤1}}_k $ 在计算中起关键作用。
• 结果表明，通过嵌入拉格朗日环面定义的拉格朗日子容量，可通过辛拓扑中的全纯曲线不变量进行计算。